Das nachfolgende Berechnungsbeispiel zeigt die Anwendung einer räumlichen Spanngliedführung anhand einer im Grundriss gekrümmten Plattenbrücke.
Statisches System mit Abmessungen
Material
| Beton | B45 |
| Betonstahl | BSt 500/550, Überdeckung 5 cm |
| Spannstahl | ST 1570/1770 |
| Lastfall 1 | Eigengewicht, Fahrbahnbelag 2 kN/m², Randlast 5 kN/m (G1). |
| Lastfall 2..10 | SLW 60 in unterschiedlichen Laststellungen gem. Abbildung (P). |
| Lastfall 11 | Verkehr Hauptspur 5 kN/m², Nebenspur 3 kN/m² (P). |
| Lastfall 12 | Vorspannung (V). |
| Lastfall 13 | Kriecherzeugende Dauerlast: G1+V |
| Lastfall 14 | Kriechen und Schwinden (KS). Beiwerte: φt∞ = 2,40, ρ = 0,8, εt∞ = ‑30 · 10‑5 Kriecherzeugender Dauerlastfall: 13 Schnittkraftumlagerung zwischen Beton und Spannstahl wird berücksichtigt. |
Zur Vereinfachung des Berechnungsbeispiels wurden nur 9 SLW‑Stellungen untersucht. Die extremalen Verkehrslasten P für die Spannbetonnachweise werden durch Lastfallkombination aus den Lastfällen 2 bis 11 gewonnen.
Untersuchte SLW‑Stellungen
Das nachfolgende Bild zeigt das Elementnetz mit Spanngliedern im Grundriss. Anschließend sind die relevanten Eingabedaten für die FEM‑Berechnung wiedergegeben.
Materialkennwerte
Nr. Mat.- E-Modul G-Modul Quer- alpha.t gamma
Art [MN/m²] dehn. [1/K] [kN/m³]
---------------------------------------------------
1 B45 37000 15000 0,20 1,000e-05 25,000
2 B45 37000 15000 0,20 1,000e-05 25,000
3 B45 37000 15000 0,20 1,000e-05 25,000
Kriech- und Schwindbeiwerte
Material phi.t rho epsilon.s
--------------------------------------
1 2,400 0,800 -30,00E-05
2 2,400 0,800 -30,00E-05
3 2,400 0,800 -30,00E-05
Querschnittswerte
Nr. 1 Fläche d=0,72
Nr. 2 Fläche d=0,34
Nr. 3 Fläche d=0,28
Spannstrangeigenschaften
Spann- Anzahl Spann- Spann- Typ max. P min R Länge
strang Spann- verfahren anweisung
Nr. glieder Nr. Nr. [kN] [m] [m]
----------------------------------------------------------------------
1 4 1 1 Fläche 6349,4 31,9 18,4
5 3 1 1 Fläche 4799,4 38,0 18,2
8 3 1 1 Fläche 4773,0 58,3 18,1
11 4 1 1 Fläche 6372,9 75,6 18,1
15 3 1 1 Fläche 4786,2 47,5 18,2
18 3 1 1 Fläche 4793,9 32,5 18,4
21 4 1 1 Fläche 6403,6 24,9 18,6
25 2 1 1 Fläche 3128,3 19,7 15,2
27 1 1 1 Fläche 1565,2 19,6 15,1
28 1 1 1 Fläche 1567,5 23,2 15,1
29 2 1 1 Fläche 3130,0 21,3 15,1
31 1 1 1 Fläche 1560,1 17,8 15,2
32 1 1 1 Fläche 1559,9 17,5 15,4
Gesamt: 32 219,1
Spannverfahren (Werte für Einzelspannglied)
Nr. Fläche E-Modul fp01k fpk Pm0 µa µn ß' Schlupf dh Zulassung
[mm²] [MN/m²] [MN/m²] [kN] [°/m] [mm] [mm] nach
----------------------------------------------------------------------------
1 1680,0 195000 1570 1770 1635 0,20 0,20 0,30 3,00 80 DIN 4227
Spannanweisungen
Nr. Faktoren Spannanker-Anfang Faktoren Spannanker-Ende Kappa
Spann-1 Nach-1 Spann-2 Nach-2 Spann-1 Nach-1 Spann-2 Nach-2
----------------------------------------------------------------------------
1 1,05 0,00 0,00 0,00 1,02 0,00 0,00 0,00 -.-
Lastfallkombination 1, Verkehr - veränderliche inklusive Einwirkung
Lastfall Faktor
--------------------------------------------
11 Verkehr auf Haupt- und Nebensp 1,000
Lastfallkombination 1, Verkehr - 1. veränderliche exklusive Einwirkung
Lastfall Faktor
--------------------------------------------
2 Verkehr SLW Mitte 1,000
3 Verkehr SLW Mitte unten 1,000
4 Verkehr SLW Mitte oben 1,000
5 Verkehr SLW Mitte links 1,000
6 Verkehr SLW Mitte rechts 1,000
7 Verkehr SLW unten links 1,000
8 Verkehr SLW unten rechts 1,000
9 Verkehr SLW oben links 1,000
10 Verkehr SLW oben rechts 1,000
Der Spanngliedverlauf zweier Spannstränge ist nachfolgend im Plattenlängsschnitt nebst Ordinatentabelle und Spannkraftverlauf für Spannstrang 11 dargestellt.
Spanngliedführung und Spannkraftverlauf im Längsschnitt
Die weiteren Abbildungen zeigen Schnittgrößen und Spannungen für ausgewählte Beanspruchungen. Insbesondere zeigt die Darstellung der Schnittgrößen aus Vorspannung, dass im Plattenmittelbereich eine gleichmäßige Verteilung der Spannkräfte gewährleistet ist.
my [kNm/m] aus ständiger Last (LF 1) |
max my [kNm/m] aus Verkehr (LFK 1) |
my [kNm/m] aus Vorspannung (LF 12) |
ny [kN/m] aus Vorspannung (LF 12) |
my [kNm/m] aus KS (LF 14) |
ny [kNm/m] aus KS (LF 14) |
max σy [MN/m²] aus G1+V+KS+P |
min σy [MN/m²] aus G1+V+KS+P |
Man erkennt, dass die Platte in y‑Richtung (Plattenlängsrichtung) voll vorgespannt ist. In Querrichtung ergeben sich geringfügige Zugspannungen, die durch Stahlbetonbewehrung (siehe Nachweise) oder durch eine Quervorspannung aufgenommen werden können. Die Untersuchung der Plattenquerrichtung ist nicht Gegenstand dieses Beispiels. Die zusätzlichen Angaben für die Spannbetonnachweise nach DIN 4227 sind im weiteren aufgeführt.
Die obere und untere Stahlbetonbewehrung, die sich als Maximum aus dem Bruchsicherheits- und Rissesicherheitsnachweis ergibt, ist nachfolgend in zwei Schnitten abgebildet.
Bewehrung asx [cm²/m] aus |
Bewehrung asy [cm²/m] aus |
Für ein Element aus der Brückenmitte ist zusätzlich ein Auszug aus dem Nachweisprotokoll wiedergegeben.
Element 410, untere Biegebewehrung [cm²/m] aus Bruch- und Rissesicherung.
Spannbetonnachweise nach DIN 4227-1/A1:1995-12
Die Nachweise erfolgen für Bauteile mit beschränkter Vorspannung
und nachträglichem Verbund (Teil 1+4).
Alle Nachweise erfolgen für die Extremwerte der Einwirkungen.
Bei Flächenelementen werden bei der Bemessung der Längsbewehrung die
Dehnungsreserven der im Verbund liegenden Spannglieder nicht genutzt.
Bemessungsvorgaben
Qu. Bewehrung Betonspannungen Spannstahl-
R B Q T Längs H-Zug H-Druck spannungen
1 x x x . x . . .
(R) Mindestbewehrung zur Beschränkung der Rissbreite.
(B) Längsbewehrung aus Bemessung im rechnerischen Bruchzustand.
(Q) Querkraftbewehrung aus Bemessung im rechnerischen Bruchzustand.
(T) Torsionsbewehrung aus Bemessung im rechnerischen Bruchzustand.
Vorgaben für den Nachweis der Längs- und Schubbewehrung
ßs Stahlgüte der Bügel [MN/m²].
Zone Der Schubnachweis erfolgt nach Kap. 12.3.2 in Zone a wie in Zone b.
Asb Schubbewehrung wird nach Kap. 12.4.1 immer berechnet und ausgegeben.
Qu. Beton Bemessungs- ßs Zone a Asb immer
modus M, N [MN/m²] wie b ausgeben
1 B45 Standard 500 . .
Schubquerschnitte
dy, dz Breite und Höhe des Ersatzquerschnitts.
kz' Beiwert zur Berechnung des inneren Hebelarms z: kz' = z / d.
Qu. Querkraft Torsion
dy[m] kz.y' dz[m] kz.z' dy[m] dz[m] ül[m]
1 1,000 . 0,720 0,79 . . .
Zulässige Betonspannungen nach DIN 4227-1, Tabelle 9, Zeilen 46 bis 63
Q,T,Q+T Beanspruchung: Querkraft, Torsion, Querkraft plus Torsion.
S1 Schiefe Hauptzugspannung im Gebrauchszustand.
S2 Schiefe Hauptdruckspannung im rechnerischen Bruchzustand.
Tau Schubspannung im rechnerischen Bruchzustand.
Gebrauchszust. .................... Bruchzustand ....................
beschr. Vorsp. zul. S1, Tau Grundwert Tau zul. S2
zul.S1 [MN/m²] Bauteil [MN/m²] [MN/m²] Bauteil [MN/m²]
Qu. Beton Q,T Q+T Q T Q+T Q T Q+T Q,T,Q+T
1 B45 2,6 . Platte 1,2 . . 4,8 . . . .
Vorgaben für den Nachweis zur Beschränkung der Rissbreite
ßbZ Zentrische Zugfestigkeit des Betons nach Kap. 6.7.3, Gl. (1).
Xi1 Verbundbeiwert zur Berücksichtigung der Mitwirkung des Spannstahls.
ds Durchmesser der Bewehrungsstäbe.
Qu. ßbZ Xi1 ds
[MN/m²] [mm]
1 2,7 0,30 16
Bewehrung für Flächenelemente
as Grundbewehrung [cm²/m]
d1 Achsabstand vom oberen Querschnittsrand [m]
d2 Achsabstand vom unteren Querschnittsrand [m]
Die pos. z-Achse des Elementsystems zeigt zum unteren Querschnittsrand
Güte Güte bzw. Streckgrenze fyk der Bewehrung [MN/m²]
Qu. Lage Güte E-Modul d1 x d2 x asx d1 y d2 y asy as
[MN/m²] [m] [m] [cm²/m] [m] [m] [cm²/m] fix
1 1 500M 210000 0,050 . 0,00 0,050 . 0,00 .
2 500M 210000 . 0,050 0,00 . 0,050 0,00 .
NACHWEISE FÜR FLÄCHENELEMENTE
Nachweis der Längsbewehrung
(R) Mindestbewehrung nach 6.7.3, A1:1995-12 zur Begrenzung der Rissbreite
ds Größter vorhandener Stabdurchmesser [mm]
k Beiwert zur Berücksichtigung nichtlinear verteilter Zugspannungen
ßbZ Wirksame zentrische Betonzugfestigkeit nach Kap. 6.7.3(1) [MN/m²]
kc Beiwert zur Berücksichtig. der Spannungsverteilung in der Zugzone
gemäß Gl. (1), A1:1995-12
max Sc Maximale Betonrandspannung aus Einwirkungskombination [MN/m²]
(B) Bruchsicherheitsnachweis
Druckbewehrung ist bei überwiegender Biegung durch "*" markiert.
ßR Betonrechenfestigkeit nach Bild 6 [MN/m²]
Winkel Winkel der Bewehrung asy [°]
msd Bemessungsmoment [kNm/m]
nsd Bemessungsnormalkraft [kN/m]
Element 410
Ort 2
Element 410, Schale, 4 Nachweisort(e)
Querschnitt 1: d=0,72 - B45
Stahl 1; Bemessungsmodus: Standard
(R) ds=16; k=0,706; ßbZ=3,16287
(B) ßR=27; Winkel=0
1. Kombination Rissesicherung (RK.1): G1+P+1,1*(V+KS)
Betonschnittgrößen
nx[kN/m] ny[kN/m] nxy[kN/m] mx[kNm/m] my[kNm/m] mxy[kNm/m]
nx- : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
nx+ : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
ny- : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
ny+ : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
nxy- : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
nxy+ : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
mx- : 366,16 -4123,47 -197,97 -40,07 -23,65 -7,94
mx+ : 366,16 -4123,47 -197,97 43,44 226,98 -2,08
my- : 366,16 -4123,47 -197,97 -29,97 -178,14 -6,72
my+ : 366,16 -4123,47 -197,97 43,44 226,98 -2,08
mxy- : 366,16 -4123,47 -197,97 -28,87 -128,06 -14,11
mxy+ : 366,16 -4123,47 -197,97 -14,12 76,83 4,65
Maßgebende Bemessungsschnittgrößen
x-Richtung y-Richtung
Satz,Var. nsd[kN/m] msd[kNm/m] nsd[kN/m] msd[kNm/m]
nx- (3): 564,13 -36,69 -3925,50 -184,87
mx- (3): 564,13 -48,01 -3925,50 -31,59
2. Kombination Rissesicherung (RK.2): G1+P+0,9*(V+KS)
Betonschnittgrößen
nx[kN/m] ny[kN/m] nxy[kN/m] mx[kNm/m] my[kNm/m] mxy[kNm/m]
nx- : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
nx+ : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
ny- : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
ny+ : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
nxy- : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
nxy+ : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
mx- : 299,58 -3373,75 -161,98 -27,07 161,21 -5,03
mx+ : 299,58 -3373,75 -161,98 56,44 411,84 0,84
my- : 299,58 -3373,75 -161,98 -16,97 6,72 -3,81
my+ : 299,58 -3373,75 -161,98 56,44 411,84 0,84
mxy- : 299,58 -3373,75 -161,98 -15,87 56,81 -11,20
mxy+ : 299,58 -3373,75 -161,98 -1,12 261,70 7,56
Maßgebende Bemessungsschnittgrößen
x-Richtung y-Richtung
Satz,Var. nsd[kN/m] msd[kNm/m] nsd[kN/m] msd[kNm/m]
mx+ (1): 461,56 57,27 -3211,77 412,68
1. Kombination Bruchsicherheit (BK.1): 1,75*(G1+P)+V+KS
Betonschnittgrößen
nx[kN/m] ny[kN/m] nxy[kN/m] mx[kNm/m] my[kNm/m] mxy[kNm/m]
nx- : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
nx+ : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
ny- : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
ny+ : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
nxy- : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
nxy+ : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
mx- : 332,87 -3748,61 -179,97 -9,99 813,61 -0,44
mx+ : 332,87 -3748,61 -179,97 136,15 1252,21 9,83
my- : 332,87 -3748,61 -179,97 7,68 543,25 1,70
my+ : 332,87 -3748,61 -179,97 136,15 1252,21 9,83
mxy- : 332,87 -3748,61 -179,97 9,61 630,90 -11,23
mxy+ : 332,87 -3748,61 -179,97 35,42 989,46 21,59
Maßgebende Bemessungsschnittgrößen
x-Richtung y-Richtung
Satz,Var. nsd[kN/m] msd[kNm/m] nsd[kN/m] msd[kNm/m]
nx- (1): 512,85 9,38 -3568,63 544,95
mx- (3): 512,85 -10,43 -3568,63 813,17
mx+ (1): 512,85 145,98 -3568,63 1262,04
Nachweis der Längsbewehrung
Lage, Bewehrung in x-Richtung Bewehrung in y-Richtung
Typ max Sc kc erf.asx Situation max Sc kc erf.asy Situation
[MN/m²] [cm²/m] [MN/m²] [cm²/m]
1 R 1,34 0,55 16,30 RK.1,mx-(3) . . 0,00 RK.1,nx-(3)
B . . 5,46 BK.1,mx-(3) . . 0,00 BK.1,nx-(1)
2 R 1,30 0,52 19,44 RK.2,mx+(1) 0,32 0,02 0,29 RK.2,mx+(1)
B . . 9,84 BK.1,mx+(1) . . 9,01 BK.1,mx+(1)
Nachweis der Schubbewehrung und Schubspannung im Bruchzustand
Der Mindestbewehrungsgrad nach Kap. 6.7 wird nicht berücksichtigt.
d Elementdicke [m]
ßs Stahlgüte der Bügel [MN/m²]
kz' Beiwert zur Berechnung des inneren Hebelarms z: kz' = z / d
qx,qy,qr Plattenquerkräfte in x,y-Richtung, qr=(qx²+qy²)½ [kN/m]
tau.r Rechenwert der Schubspannung aus qr [MN/m²]
tau.57 Maximal zulässige Schubspannung nach Tabelle 9, Zeile 57 [MN/m²]
tau.51 Grenzwert für erf.asb nach Tab. 9, Zeile 51, ohne Red. nach 12.4.1(7)
Theta Neigung der Druckstreben gegen die Querschnittsnormale [°]
Element 410
Ort 2
Element 410, Schale, 4 Nachweisort(e)
Querschnitt 1: d=0,72 - B45
ßs=500; kz'=0,79
1. Kombination Schub Bruchzustand (SB.1): 1,75*(G1+P)+V+KS
Betonschnittgrößen
qx[kN/m] qy[kN/m]
qx- : -6,31 -9,37
qx+ : 41,76 -5,63
qy- : 33,90 -40,25
qy+ : 12,06 14,06
Schubbewehrung und Schubspannung in Zone b
qr tau.r tau.57 tau.51 Theta z erf.asb Situation
[kN/m] [MN/m²] [MN/m²] [MN/m²] [°] [m] [cm²/m²]
11,30 0,02 4,8 1,2 21,8 0,57 . SB.1,qx-
Nachweis der Betonspannungen
Der Nachweis erfolgt unter Annahme eines ungerissenen Betonquerschnitts.
Die Zulässigkeit der Spannungen nach Tab. 9 wird nicht überprüft.
S1,2 Hauptspannungen aus Biegung und Längskraft [MN/m²]
Phi Winkel der Hauptspannung im Schnittkraftsystem [°]
Element 410
Ort 2
Element 410, Schale, 4 Nachweisort(e)
Querschnitt 1: d=0,72 - B45
1. Kombination Spannungen: G1+V
max S1 zug.S2 zug.Phi min S2 zug.S1 zug.Phi
[MN/m²] [MN/m²] [°] [MN/m²] [MN/m²] [°]
oben 0,94 -3,36 -2,64 -3,36 0,94 87,36
unten 0,16 -8,71 -2,41 -8,71 0,16 87,59
2. Kombination Spannungen: G1+V+KS
max S1 zug.S2 zug.Phi min S2 zug.S1 zug.Phi
[MN/m²] [MN/m²] [°] [MN/m²] [MN/m²] [°]
oben 0,74 -4,22 -2,18 -4,22 0,74 87,82
unten 0,21 -6,21 -2,78 -6,21 0,21 87,22
3. Kombination Spannungen: G1+V+KS+0,5*P
max S1 zug.S2 zug.Phi min S2 zug.S1 zug.Phi
[MN/m²] [MN/m²] [°] [MN/m²] [MN/m²] [°]
oben 0,80 -5,11 -1,76 -6,57 0,32 88,20
unten 0,63 -3,87 -3,62 -6,21 0,21 87,22
4. Kombination Spannungen: G1+V+KS+P
max S1 zug.S2 zug.Phi min S2 zug.S1 zug.Phi
[MN/m²] [MN/m²] [°] [MN/m²] [MN/m²] [°]
oben 0,86 -6,01 -1,46 -8,91 -0,11 88,42
unten 1,07 -1,54 -5,70 -6,21 0,21 87,22
