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Der Nachweis der Tragsicherheit stabilitätsgefährdeter Stabwerke darf nach DIN 18800, Teil 2 in zwei Schritten erfolgen. Zunächst wird der Nachweis des Biegeknickens nach Theorie 2. Ordnung am Gesamtsystem geführt. Im Anschluss daran wird der Biegedrillknicknachweis am Ersatzstab unter Zugrundelegung der vorher ermittelten Stabendschnittgrößen erbracht. Die Feldmomente aus ggf. vorhandenen Stablasten dürfen hierbei nach Theorie 1. Ordnung berechnet werden.
Das vorliegende Berechnungsprogramm führt den Nachweis gegen Biegedrillknicken am Ersatzstab nach der Methode ’elastisch-plastisch’ durch. Hierfür gelten die nachfolgenden Voraussetzungen:
| • | Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt nach der Elastizitätstheorie. |
| • | Der Ersatzstab wird als gerade angenommen. |
| • | Querschnitt und Material sind über die Stablänge konstant. |
| • | Die Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber den übrigen Abmessungen. |
| • | Die mathematische Krümmung wird linearisiert. |
| • | Der Einfluss der Schubverformungen auf die Schnittgrößen bleibt unberücksichtigt. |
| • | Die Belastung wird langsam auf ihren Endwert gesteigert und erfährt durch die Systemverformung keine Richtungsabweichung. |
| • | Die Einwirkungen in z‑Richtung greifen im Abstand zp vom Schubmittelpunkt an. |
| • | Die Einwirkungen in y‑Richtung greifen im Schubmittelpunkt an. |
| • | Der Ersatzstab ist beidseitig gabelgelagert. |
| • | Blechbeulen wird nicht erfasst. |
| • | Torsionseinwirkungen werden nicht erfasst. |
Die Ermittlung der plastischen Schnittgrößen erfolgt durch Integration der Spannungen am Querschnitt, wie oben beschrieben.
Eine Begrenzung der vollplastischen Grenzmomente ist nach DIN 18800, Teil 2 nicht notwendig.
Ist die Querkraftausnutzung größer 0,33 in z‑Richtung bzw. größer 0,25 in y‑Richtung, muss gemäß DIN 18800, Teil 2, Abschnitt 3.4.2.2, Element (315), der Einfluss der Querkräfte auf die Tragfähigkeit des Querschnitts berücksichtigt werden. Dies geschieht durch Reduktion der Fließspannung im Steg bzw. in den Gurten.
Gemäß DIN 18800 Teil 2 Abschnitt 3.4.3 ist NKi die Normalkraft unter der kleinsten Verzweigungslast für das Ausweichen rechtwinklig zur z‑Achse oder die Drillknicklast. Dies wird im Programm mit folgender Formel untersucht.
\begin{align*}
N_\mathrm{Ki,z,d} =
\frac{E\cdot I_\mathrm{z}\cdot\pi^2}{L^2}
\end{align*}
Es wird noch darauf hingewiesen, dass immer nur Knicken rechtwinklig zur z‑Achse untersucht wird, selbst wenn Knicken rechtwinklig zur y‑Achse eine kleinere Knicklast hat (siehe Erläuterungen zu DIN 18800, Seite 178).
DIN 18800 stellt die nachfolgende Gleichung zur Berechnung von MKi,y zur Verfügung:
\begin{align*}
M_\mathrm{Ki,y} =
\zeta\cdot N_\mathrm{Ki,z}\cdot
\left({\sqrt{
c^2 +0,25\cdot z_\mathrm{P}^2
}+ 0,5\cdot z_\mathrm{p}}\right)
\end{align*}
Diese Formel ist nur für doppeltsymmetrische I‑Profile anwendbar. Zusätzlich gestaltet sich bei allgemeinerem Momentenverlauf die Bestimmung des Momentenbeiwertes ζ recht aufwendig. Bei einfachsymmetrischen Profilen ist eine Ermittlung von MKi,y in der o.a. Form nicht mehr möglich.
Um bei Bedarf beliebige einfachsymmetrische Profile unter allgemeiner Beanspruchung berechnen zu können, wurde im vorliegenden Programmodul eine Methode zur direkten Ermittlung von MKi,y implementiert.
Die Lösung erfolgt durch Variation des elastischen Potentials ∏ unter Vernachlässigung der Terme aus der rechnerischen Durchbiegung w. Für die unbekannten Funktionen v und φ wird ein mehrgliedriger Reihenansatz gemacht, der die Randbedingungen erfüllt.
\begin{align*}
\Pi =\frac{1}{2}\int_0^L\!\!\left\{{
\!\left[{GI_\mathrm{x}\!+\!\left({r_\mathrm{y}\!-\!2 z_\mathrm{m}}\right)M_\mathrm{y}(x)\;\eta_\mathrm{cr}}\right]
\!\left({\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!EI_\mathrm{w}\!\left({\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!EI_\mathrm{z}\!\left({\frac{\partial^{2}\nu}{\partial x^{2}}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!2M_\mathrm{y}(x)\eta_\mathrm{cr}\!\left({\frac{\partial^{2}\nu}{\partial x^{2}}}\right)\varphi
\!+\!q\;\eta_\mathrm{cr}\;z_\mathrm{p}\varphi^2\!}\right\}\!dx
\end{align*}
Der geometrisch nichtlineare Anteil aus Einwirkungen in z‑Richtung wird durch eine Gleichlast qz erfasst. Diese wird so gewählt, dass das gleiche maximale Feldmoment erzeugt wird, wie durch die gegebene Einwirkung.
Das hieraus resultierende Eigenwertproblem liefert den kleinsten positiven Verzweigungslastfaktor ηKi,y und damit das gesuchte Biegedrillknickmoment MKi,y. Dieses wird gem. DIN 18800, Teil 2, Abschnitt 1.3, Anmerkung 5, für jede Nachweisstelle berechnet.
\begin{align*}
M_\mathrm{Ki,y,d} =
\frac{\eta_\mathrm{Ki,y}\cdot M_\mathrm{y,d}}{\gamma_\mathrm{M}}
\end{align*}
Das beschriebene Verfahren bietet den Vorteil, dass der Benutzer keine Angaben zum Momentenbeiwert ζ machen muss.