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Die Eingangswerte entsprechen dem Beispiel 7c (Nachweis mit zugehörigen Schnittgrößen) Seite 262 aus dem Buch von J. Meister.
Es wird der rechte Rahmenstiel nachgewiesen.
γM = 1,00 (Wird im Beispiel zur Vereinfachung angenommen)
Querschnitt: HEA 240
| A = 76,8 cm² | Iy = 7760,0 cm4 Iz = 2770,0 cm4 |
| IT = 41,7 cm4 | Iω = 328500 cm6 |
| iz = 6,01 cm | ip = 11,71 cm iM = 11,71 cm |
Material: S235
fy,k = 240 N/mm²
E‑Modul = 210000 N/mm²
G‑Modul = 81000 N/mm²
γM = 1,00
Einwirkungen in z-Richtung
L = 8,00 m |
Nd = -70,00 kN |
Fz,d = 0,00 kN |
My,d,links = 120,00 kNm |
My,d,rechts = 0,00 kNm |
Lastangriffspunkt Schubmittelpunkt ⇒ zp = 0,00 cm
Die Stabenden sind gabelgelagert.
Einwirkungen in y-Richtung
| L = 8,00 m | Fy,d = 5,00 kN |
| Mz,d,links = 0,00 kNm; | Mz,d,rechts = 0,00 kNm |
Knicklast NKi,z,d
\begin{align*}
\mathrm{N}_\mathrm{Ki,z,d} =
\pi^2\cdot\left({\mathrm{E}\cdot\mathrm{I}_\mathrm{z}/\gamma_\mathrm{M}}\right)
/ \;\mathrm{L}^2
\end{align*}
| mit Iz = 2770,0 cm4 | E = 210000 N/mm² |
| L = 8,00 m | γM = 1,0 |
NKi,z,d = 897,05 kN
Verzweigungslastfaktor ηKi,y für MKi,yd
ηKi,y = 3,03
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Maßgebender Nachweis an der Stelle x = 0,00 m
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Schnittgrößen
Nd = -70,00 kN
Vz,d = -15,00 kN
My,d = 120,00 kNm
Vy,d = 2,50 kN
Mz,d = 0,00 kNm
Plastische Schnittgrößen
| Npl,k = ± 1843,20 kN | Npl,d = ± 1843,20 kN |
| Vpl,z,k = ± 214,08 kN | Vpl,z,d = ± 214,08 kN |
| Mpl,y,k = ± 178,71 kNm | Mpl,y,d = ± 178,71 kNm |
| Vpl,y,k = ± 798,13 kN | Vpl,y,d = ± 798,13 kN |
| Mpl,z,k = ± 84,41 kNm | Mpl,z,d = ± 84,41 kNm |
Abminderungsfaktor κz
\begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{k,z} = \sqrt{
\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}/\mathrm{N}_\mathrm{Ki,z,d}}
\end{align*}
| mit Npl,d = 1843,20 kN | NKi,z,d = 897,05 kN |
k,z = 1,43 > 0,2
\begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{k,z} = \sqrt{
\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}/\mathrm{N}_\mathrm{Ki,z,d}}
\end{align*} 
\begin{align*}
\mathrm{k}= 0,5\cdot
\left({1+\alpha\cdot (\overline\lambda_\mathrm{k,z} - 0,2)
+ \overline\lambda_\mathrm{k,z}^2}\right)
\end{align*}
Knickspannungslinie c ⇒ α = 0,49
k = 1,83
κz = 0,34
Biegedrillknickmoment MKi,yd
\begin{align*}
\mathrm{M}_\mathrm{Ki,y,d} =
\frac{\eta_\mathrm{Ki,y}\cdot\mathrm{M}_\mathrm{y,d}}{\gamma_\mathrm{M}}
\end{align*}
| mit ηKi,y = 3,03 | My,d = 120,00 kNm γM = 1,0 |
MKi,yd = 363,60 kNm
Abminderungsfaktor κM
\begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{M} = \sqrt{
\mathrm{M}_\mathrm{pl,y,d}/\mathrm{MN}_\mathrm{Ki,y,d}}
\end{align*}
mit Mpl,y,d = 178,71 kNm MKi,y,d = 363,60 kNm
M = 0,70 > 0,4
\begin{align*}
\kappa_\mathrm{M} =
\left({1/(1+\overline\lambda_\mathrm{M}^{\,2\cdot\mathrm{n}})}\right)^{1/\mathrm{n}}
\end{align*}
Beiwert für gewalzte Träger n = 2,50
κM = 0,94
Beiwert ky
\begin{align*}
\mathrm{k}_\mathrm{y} = 1 - \mathrm{N}_\mathrm{d} /
\left({\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}\right)\cdot
\mathrm{a}_\mathrm{y}\le 1
\end{align*} 
\begin{align*}
\mathrm{a}_\mathrm{y} = 0,15\cdot\overline\lambda_\mathrm{k,z}\cdot
\beta_\mathrm{M,y} - 0,15\le 0,9
\end{align*}
| mit Nd = 70,00 kN | Npl,d = 1843,20 kN |
| κz = 0,34 | -λk,z = 1,43 |
Momentenverhältnis ψ,y = 0,00 ⇒ βM,y = 1,80
ay = 0,24
ky = 0,97
Beiwert kz
\begin{align*}
\mathrm{k}_\mathrm{z} = 1 - \mathrm{N}_\mathrm{d} /
\left({\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}\right)\cdot
\mathrm{a}_\mathrm{z}\le 1,5
\end{align*} 
\begin{align*}
\mathrm{a}_\mathrm{z} = \overline\lambda_\mathrm{k,z}\cdot
(2\cdot\beta_\mathrm{M,z} - 4)+
(\mathrm{a}_\mathrm{\,pl,z} - 1)
\le 0,8
\end{align*}
| mit Nd = 70,00 kN | Npl,d = 1843,20 kN αpl,z = 1,52 |
| κz = 0,34 | -λk,z = 1,43 |
Momentenverhältnis ψ,z = 1,00 ⇒ βM,z = 1,40
az = -1,20
kz = 1,13
Nachweis
\begin{align*}
\frac{\mathrm{N}_\mathrm{d}}{\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}
+\frac{\mathrm{M}_\mathrm{y,d}}{\kappa_\mathrm{M}\cdot\mathrm{M}_\mathrm{pl,y,d}}
\cdot\mathrm{k}_\mathrm{y}
+\frac{\mathrm{M}_\mathrm{z,d}}{\mathrm{M}_\mathrm{pl,z,d}}
\cdot\mathrm{k}_\mathrm{z}\le 1
\end{align*}
| Nd = 70,00 kN | My,d = 120,00 kNm Mz,d = 0,00 kNm |
| Npl,d = 1843,20 kN | Mply,d = 178,71 kNm Mplz,d = 84,41 kNm |
| κz = 0,34 | κM = 0,94 ky = 0,97 kz = 1,13 |
0,11 + 0,70 + 0,00 = 0,81 ≤ 1,0 Nachweis erfüllt !
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Nachweis an der Stelle x = 4,00 m
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Schnittgrößen
Nd = -70,00 kN
Vz,d = -15,00 kN
My,d = 60,00 kNm
Vy,d = -2,50 kN
Mz,d = 10,00 kNm
Plastische Schnittgrößen
| Npl,k = ± 1843,20 kN | Npl,d = ± 1843,20 kN |
| Vpl,z,k = ± 214,08 kN | Vpl,z,d = ± 214,08 kN |
| Mpl,y,k = ± 178,71 kNm | Mpl,y,d = ± 178,71 kNm |
| Vpl,y,k = ± 798,13 kN | Vpl,y,d = ± 798,13 kN |
| Mpl,z,k = ± 84,41 kNm | Mpl,z,d = ± 84,41 kNm |
Abminderungsfaktor κz
\begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{k,z} = \sqrt{
\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}/\mathrm{N}_\mathrm{Ki,z,d}}
\end{align*}
| mit Npl,d = 1843,20 kN | NKi,z,d = 897,05 kN |
k,z = 1,43 > 0,2
| \begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{k,z} = \sqrt{
\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}/\mathrm{N}_\mathrm{Ki,z,d}}
\end{align*} | \begin{align*}
\mathrm{k}= 0,5\cdot
\left({1+\alpha\cdot (\overline\lambda_\mathrm{k,z} - 0,2)
+ \overline\lambda_\mathrm{k,z}^2}\right)
\end{align*} |
Knickspannungslinie c ⇒ α = 0,49
k = 1,83
κz = 0,34
Biegedrillknickmoment MKi,y,d
\begin{align*}
\mathrm{M}_\mathrm{Ki,y,d} =
\frac{\eta_\mathrm{Ki,y}\cdot\mathrm{M}_\mathrm{y,d}}{\gamma_\mathrm{M}}
\end{align*}
| mit ηKi,y = 3,03 | My,d = 60,00 kNm γM = 1,0 |
MKi,yd = 181,80 kNm
Abminderungsfaktor κM
\begin{align*}
\overline\lambda_\mathrm{M} = \sqrt{
\mathrm{M}_\mathrm{pl,y,d}/\mathrm{MN}_\mathrm{Ki,y,d}}
\end{align*}
mit Mpl,y,d = 178,71 kNm MKi,y,d = 181,80 kNm
M = 0,99 > 0,4
\begin{align*}
\kappa_\mathrm{M} =
\left({1/(1+\overline\lambda_\mathrm{M}^{\,2\cdot\mathrm{n}})}\right)^{1/\mathrm{n}}
\end{align*}
Beiwert für gewalzte Träger n = 2,50
κM = 0,76
Beiwert ky
\begin{align*}
\mathrm{k}_\mathrm{y} = 1 - \mathrm{N}_\mathrm{d} /
\left({\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}\right)\cdot
\mathrm{a}_\mathrm{y}\le 1
\end{align*} \begin{align*}
\mathrm{a}_\mathrm{y} = 0,15\cdot\overline\lambda_\mathrm{k,z}\cdot
\beta_\mathrm{M,y} - 0,15\le 0,9
\end{align*}
| mit Nd = 70,00 kN | Npl,d = 1843,20 kN |
| κz = 0,34 | -λk,z = 1,43 |
Momentenverhältnis ψ,y = 0,00 ⇒ βM,y = 1,80
ay = 0,24
ky = 0,97
Beiwert kz
\begin{align*}
\mathrm{k}_\mathrm{z} = 1 - \mathrm{N}_\mathrm{d} /
\left({\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}\right)\cdot
\mathrm{a}_\mathrm{z}\le 1,5
\end{align*} \begin{align*}
\mathrm{a}_\mathrm{z} = \overline\lambda_\mathrm{k,z}\cdot
(2\cdot\beta_\mathrm{M,z} - 4)+
(\mathrm{a}_\mathrm{\,pl,z} - 1)
\le 0,8
\end{align*}
mit Nd = 70,00 kN Npl,d = 1843,20 kN αpl,z = 1,52
κz = 0,34 -λk,z = 1,43
Momentenverhältnis ψ,z = 1,00 ⇒ βM,z = 1,40
az = -1,20
kz = 1,13
Nachweis
\begin{align*}
\frac{\mathrm{N}_\mathrm{d}}{\kappa_\mathrm{z}\cdot\mathrm{N}_\mathrm{pl,d}}
+\frac{\mathrm{M}_\mathrm{y,d}}{\kappa_\mathrm{M}\cdot\mathrm{M}_\mathrm{pl,y,d}}
\cdot\mathrm{k}_\mathrm{y}
+\frac{\mathrm{M}_\mathrm{z,d}}{\mathrm{M}_\mathrm{pl,z,d}}
\cdot\mathrm{k}_\mathrm{z}\le 1
\end{align*}
| Nd = 70,00 kN | My,d = 60,00 kNm Mz,d = 10,00 kNm |
| Npl,d = 1843,20 kN | Mply,d = 178,71 kNm Mplz,d = 84,41 kNm |
| κz = 0,34 | κM = 0,76 ky = 0,97 kz = 1,13 |
0,11 + 0,43 + 0,13 = 0,67 ≤ 1,0 Nachweis erfüllt !