Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung, Nachweisvorgaben, Einwirkungen, Nachweise, Ausnutzung, Ausführliches Protokoll
Am unten dargestellten Hallenrahmen werden eine Stabwerksanalyse sowie ein Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung durchgeführt. Die Nachweise erfolgen nach den Verfahren Elastisch-Elastisch und Elastisch-Plastisch mit den Kombinationsvorschriften nach DIN 18800.
Statisches System und Abmessungen
Materialkennwerte
Nr. Material- E-Modul alpha.t gamma kbx-a kbx-e kbz-a kbz-e bx bz
Art [MN/m²] [1/K] [kN/m³] [MN/m³] [m]
-------------------------------------------------------------------------------------------
1 S235 210000 1,200e-05 78,500 0 0 0 0 1,00 1,00
2 S235 210000 1,200e-05 78,500 0 0 0 0 1,00 1,00
Querschnittswerte
Nr. 1 HEB 500
A = 2,390e-02 [m²], Iy = 1,072e-03 [m4]
Nr. 2 HEA 700
A = 2,600e-02 [m²], Iy = 2,153e-03 [m4]
Für den Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung wurde ein maßgebender Lastfall Nr. 10 bestehend aus Eigenlast, Schnee, Wind von links und Kranbahnstellung links mit einem einheitlichen Sicherheitsbeiwert von 1,5 zusammengestellt. Daraus resultieren die folgenden Schnittgrößenverläufe:
Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen Nx
Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen Qz
Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen My
Zur Durchführung der Nachweise sind die Einwirkungen zuzuordnen, wie sie im nachfolgenden Protokoll abgedruckt sind. Das Nachweisprogramm führt die erforderlichen Schnittgrößenkombinationen durch und weist die zulässigen Spannungen nach. Zudem werden die vollplastischen Schnittgrößen ermittelt und der plastische Ausnutzungsgrad angegeben.
Nachweise nach DIN 18800-1 (2008)
Der Nachweis nach dem Verfahren Elastisch-Elastisch wird gemäß
Abschnitt 7.5.2 mit den Elementen 746 bis 749 geführt.
Der Nachweis nach dem Verfahren Elastisch-Plastisch wird gemäß
Abschnitt 7.5.3 mit den Elementen 753 und 755 geführt.
Die Nachweiskombinationen werden ermittelt nach Abschnitt 7.2.2 mit den
Gleichungen (12)-(15) und (17). Im Nachweis ist jeweils das Extremum der
Gleichungen (13) und (14) maßgebend.
Der Nachweis erfolgt für alle möglichen Kombinationen der Einwirkungen.
Bezeichnungen im Ausdruck
A : Querschnittsfläche.
Iy, Iz, Iyz : Trägheitsmomente.
Aqz : Schubfläche für die Abtragung von Qz.
Wqz : Widerstandsgröße der ext. Schubspannung aus Qz.
Pl. Ausn. : Plastische Ausnutzung, Verhältnis der Beanspruchungs-
schnittgrößen zu den vollplastischen Grenzschnittgrößen.
y, z : Ort im Querschnittspolygon [m].
Spannungsermittlung
Die Längs- und Schubspannungen werden für polygonal berandete, homogene
Querschnitte infolge Längskraft, Biegemoment und Querkraft berechnet.
Die Ermittlung der Schubkenngrößen erfolgt nach der Boundary-Element-Methode.
Die Berechnungspunkte für alle Spannungen sind Randpunkte des Querschnitts.
Bei folgenden Querschnitten werden die Schubspannungen aus Querkraft
über die Querschnittsbreite gemittelt.
Querschnitt Querschnitt Querschnitt
1 HEB 500 2 HEA 700 -
Ermittlung der plastischen Grenzschnittgrößen
Die plastischen Grenzschnittgrößen werden durch Integration am
polygonal berandeten Querschnitt ermittelt. Dabei wird die Interaktion
aller Schnittgrößen Nx, Qz und My berücksichtigt.
Zur Vereinfachung werden folgende Annahmen getroffen:
- Die Querkraft erzeugt in ihrer zugehörigen Schubfläche
die konstante Schubspannung Tau=Qz/Aqz.
- Ist keine Schubläche definiert, wird von einer über den gesamten
Querschnitt konstanten Schubspannung Tau=Qz/Wqz ausgegangen.
Die Ermittlung der Schubkenngrößen erfolgt nach der Boundary-
Element-Methode am Querschnittsrand.
Als Fließbedingung gilt die Huber-v. Mises-Bedingung nach Gl. (36).
Die plastischen Grenzmomente werden auf den 1.25-fachen Wert des
elastischen Grenzmomentes begrenzt (DIN 18800, Element 755).
Teilsicherheitsbeiwerte für Baustahl
gamma.M
Grundkombination 1,10
Außergew. Kombination 1,10
Besondere Kombination 1,00
Charakteristische Materialkennwerte
Streckgrenzen für Baustahl nach Tab. 1 für t <= 40 mm [MN/m²].
Grenzspannungen gemäß Element 746.
Grundkomb. Außergew. K. Besondere K.
Material fyk Sigma.Rd Tau.Rd Sigma.Rd Tau.Rd Sigma.Rk Tau.Rk
S235 240 218,18 125,97 218,18 125,97 240,00 138,56
Querschnittswerte
Querschnitt Material A[mm²] Aqz[mm²] Iy[m4] Iz[m4] Iyz[m4]
1 HEB 500 S235 23900 5997 1,0720e-03 1,2620e-04 0,0000e+00
2 HEA 700 S235 26000 8781 2,1530e-03 1,2180e-04 0,0000e+00
Standard Bemessungsgruppe
G - Eigenlast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,35 / 1
Lastfälle
---------
1 Eigenlast
QN - Nutzlast, Verkehrslast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Standard
Standard
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,9 / 0 / 0
Lastfälle 1. Variante, exklusiv
-------------------------------
5 Kranbahn links
6 Kranbahn rechts
7 Kranbahn Mitte: (LF5+LF6)/2
QS - Schnee- und Eislast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Standard
Standard
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,9 / 0 / 0
Lastfälle 1. Variante, inklusiv
-------------------------------
2 Schnee
QW - Windlast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Standard
Standard
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,9 / 0 / 0
Lastfälle 1. Variante, exklusiv
-------------------------------
3 Wind links
4 Wind rechts
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Lastfälle
---------
10 (LF1+2+3+5)*1.5; Th. 2.Ordnung
1. Grundkombination
Endzustand
G - Eigenlast
QN - Nutzlast, Verkehrslast
QS - Schnee- und Eislast
QW - Windlast
1. Besondere Kombination
Endzustand
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Die Ergebnisse stellen die Extrema aller Kombinationen dar.
Zulässige Überschreitungen nach Element 749 sind mit '*' gekennzeichnet.
S.x, S.v Extremale Normalspannung, max. Vergleichsspannung nach Gl. (36).
T.xy, T.xz Max. Absolutbeträge der Schubspannungen aus Querkraft.
S.R, T.R Grenznormalspannung nach Gl. (31), Grenzschubspannung nach Gl. (32).
Elastische Spannungen [MN/m²] und plastische Ausnutzung
S.x |T.xy| |T.xz| S.v S.x T.xy T.xz S.v Pl.
Stab Qu. Ort ext max max max /S.R /T.R /T.R /S.R Ausn.
1 1 1 -16,06 2,83 17,19 33,84 0,07 0,02 0,14 0,16 0,15
2 -41,85 2,83 17,19 44,66 0,19 0,02 0,14 0,20 0,18
3 -67,64 2,83 17,19 67,79 0,31 0,02 0,14 0,31 0,26
4 -93,43 2,83 17,19 93,54 0,43 0,02 0,14 0,43 0,35
5 -119,22 2,83 17,19 119,31 0,55 0,02 0,14 0,55 0,45
2 1 1 -119,22 2,83 17,19 119,31 0,55 0,02 0,14 0,55 0,45
2 -138,57 2,83 17,19 138,64 0,64 0,02 0,14 0,64 0,52
3 -157,91 2,83 17,19 157,97 0,72 0,02 0,14 0,72 0,60
4 -177,25 2,83 17,19 177,31 0,81 0,02 0,14 0,81 0,67
5 -196,59 2,83 17,19 196,65 0,90 0,02 0,14 0,90 0,75
3 1 1 -191,10 2,83 17,19 191,15 0,88 0,02 0,14 0,88 0,74
2 -197,54 2,83 17,19 197,60 0,91 0,02 0,14 0,91 0,77
3 -203,99 2,83 17,19 204,04 0,93 0,02 0,14 0,94 0,79
4 -210,44 2,83 17,19 210,49 0,96 0,02 0,14 0,96 0,82
5 -216,89 3,14 19,12 216,93 0,99 0,02 0,14 0,99 0,85
4 2 1 -148,29 3,75 23,70 148,41 0,68 0,03 0,19 0,68 0,58
2 -89,19 3,23 20,46 89,33 0,41 0,03 0,16 0,41 0,35
3 -38,49 2,72 17,21 41,14 0,18 0,02 0,14 0,19 0,16
4 -44,56 2,21 13,97 44,68 0,19 0,02 0,11 0,19 0,16
5 -76,58 1,71 10,82 76,62 0,32 0,01 0,09 0,32 0,27
5 2 1 -76,71 1,71 10,82 76,75 0,32 0,01 0,09 0,32 0,27
2 -99,04 1,22 7,73 99,06 0,41 0,01 0,06 0,41 0,35
3 -112,04 0,73 4,64 112,04 0,47 0,01 0,04 0,47 0,39
4 -108,13 0,25 1,55 108,13 0,50 0,00 0,01 0,50 0,42
5 -106,18 0,60 3,79 106,18 0,49 0,00 0,03 0,49 0,42
6 2 1 -106,18 0,53 3,37 106,18 0,49 0,00 0,03 0,49 0,42
2 -108,13 0,28 1,78 108,13 0,50 0,00 0,01 0,50 0,42
3 -101,25 0,82 5,21 101,26 0,46 0,01 0,04 0,46 0,39
4 -87,70 1,37 8,64 87,71 0,40 0,01 0,06 0,40 0,34
5 -67,63 1,91 12,07 67,67 0,31 0,01 0,09 0,31 0,26
7 2 1 -67,63 1,91 12,09 67,67 0,31 0,01 0,09 0,31 0,26
2 -39,16 2,45 15,52 39,28 0,18 0,02 0,11 0,18 0,15
3 -44,02 2,99 18,94 46,62 0,18 0,02 0,14 0,19 0,17
4 -100,97 3,23 20,46 101,13 0,42 0,03 0,16 0,42 0,36
5 -167,27 3,75 23,70 167,40 0,70 0,03 0,19 0,70 0,60
8 1 1 -244,50 3,14 19,12 244,55 1,02>1 0,02 0,14 1,02>1 0,87
2 -237,38 3,14 19,12 237,43 0,99 0,02 0,14 0,99 0,84
3 -230,26 3,14 19,12 230,32 0,96 0,02 0,14 0,96 0,82
4 -223,14 3,14 19,12 223,20 0,93 0,02 0,14 0,93 0,79
5 -216,02 3,14 19,12 216,08 0,90 0,02 0,14 0,90 0,76
9 1 1 -196,59 3,14 19,13 196,65 0,90 0,02 0,14 0,90 0,77
2 -177,25 3,14 19,13 177,31 0,81 0,02 0,14 0,81 0,68
3 -157,91 3,14 19,13 157,97 0,72 0,02 0,14 0,72 0,61
4 -138,57 3,14 19,12 138,64 0,64 0,02 0,14 0,64 0,53
5 -119,22 3,14 19,12 119,31 0,55 0,02 0,14 0,55 0,45
10 1 1 -119,22 3,15 19,14 119,31 0,55 0,02 0,14 0,55 0,45
2 -93,43 3,15 19,13 93,54 0,43 0,02 0,14 0,43 0,35
3 -67,64 3,14 19,13 67,79 0,31 0,02 0,14 0,31 0,26
4 -41,85 3,14 19,12 44,66 0,19 0,02 0,14 0,20 0,18
5 -16,06 3,14 19,12 33,84 0,07 0,02 0,14 0,16 0,15
Sigma.x,v Extremale Normalspannung, max. Vergleichsspannung nach Gl. (36).
Tau.xy,xz Max. Absolutbeträge der Schubspannungen aus Querkraft.
Sigma.R Grenznormalspannung nach Gl. (31).
Tau.R Grenzschubspannung nach Gl. (32).
x Abstand vom Stabanfang [m].
GK,BK Grundkombination, Besondere Kombination
Querschnitt Material Ergebnis Stab Ort x[m] Komb. Ausn.
1 HEB 500 S235 Sigma.x/Sigma.R 8 1 0,00 BK.1 1,02 > 1
Tau.xy/Tau.R 10 1 0,00 BK.1 0,02
Tau.xz/Tau.R 10 1 0,00 BK.1 0,14
Sigma.v/Sigma.R 8 1 0,00 BK.1 1,02 > 1
Pl. Ausnutzung 8 1 0,00 BK.1 0,87
2 HEA 700 S235 Sigma.x/Sigma.R 7 5 7,65 BK.1 0,70
Tau.xy/Tau.R 4 1 0,00 GK.1 0,03
Tau.xz/Tau.R 4 1 0,00 GK.1 0,19
Sigma.v/Sigma.R 7 5 7,65 BK.1 0,70
Pl. Ausnutzung 7 5 7,65 BK.1 0,60
Der Spannungsnachweis ergibt, dass die elastischen Grenzspannungen in Stab 8 überschritten werden. Erst durch Abgleich mit den plastischen Grenzschnittgrößen wird eine zulässige Ausnutzung des Querschnitts nachgewiesen.
Maximale elastische Ausnutzungen
Maximale plastische Ausnutzungen
Nachfolgend wird zusätzlich ein Auszug aus dem ausführlichen Protokoll für Stab 8 abgedruckt:
Nachweis für Stäbe
Die Ergebnisse stellen die Extrema aller Kombinationen dar.
Sigma.x,v Extremale Normalspannung, max. Vergleichsspannung nach Gl. (36).
Tau.xy,xz Max. Absolutbeträge der Schubspannungen aus Querkraft.
Sigma.R Grenznormalspannung nach Gl. (31).
Tau.R Grenzschubspannung nach Gl. (32).
x Abstand vom Stabanfang [m].
Stab 8: x = 0,00 m (Stablänge 1,00 m)
Querschnitt 1: HEB 500, S235, fyk=240 MN/m², A=23900 mm²
1. Grundkombination (GK.1): G+QN+QS+QW
Kein Schnittkraftsatz dieser Kombination war maßgebend.
1. Besondere Kombination (BK.1): Fd
Maßgebende Schnittgrößen aus 1 Schnittkraftsatz
Satz Nx[kN] Qz[kN] My[kNm]
1 : -258,49 123,50 -1002,03
Lastfallkombination des maßgebenden Schnittkraftsatzes
Satz Kombination
1 : L10
Nachweis der Normalspannungen [MN/m²]
Min. Sigma.x : -244,50 Sigma.x/Sigma.R : 1,02 > 1
Sigma.x(Nx) : -10,82 Qu.punkt y [m] : 0,150
Sigma.x(My) : -233,68 z [m] : 0,250
Situation : BK.1,1
Max. Sigma.x : 222,87 Sigma.x/Sigma.R : 0,93
Sigma.x(Nx) : -10,82 Qu.punkt y [m] : -0,150
Sigma.x(My) : 233,68 z [m] : -0,250
Situation : BK.1,1
Nachweis der Schubspannungen [MN/m²]
Ext. Tau.xy : 3,14 Tau.xy/Tau.R : 0,02
Tau.xy(Qz) : 3,14 Qu.punkt y [m] : -0,034
z [m] : -0,222
Situation : BK.1,1
Ext. Tau.xz : 19,12 Tau.xz/Tau.R : 0,14
Tau.xz(Qz) : 19,12 Qu.punkt y [m] : 0,007
z [m] : -0,000
Situation : BK.1,1
Nachweis der Vergleichsspannung [MN/m²]
Max. Sigma.v : 244,55 Sigma.v/Sigma.R : 1,02 > 1
Sigma.x(Nx) : -10,82 Qu.punkt y [m] : 0,045
Sigma.x(My) : -233,68 z [m] : 0,250
Tau.xy(Qz) : 2,91 Situation : BK.1,1
Tau.xz(Qz) : 0,00
Nachweis der plastischen Grenzschnittgrößen und plastischen Ausnutzung
Pl. Nx [kN] : -296,62 Pl. Ausnutzung : 0,87
Qz [kN] : 141,72 Situation : BK.1,1
My [kNm] : -1149,85
