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Das Antwortspektrumverfahren wird zur Berechnung der Formänderungen und Schnittgrößen von erdbebenbeanspruchten Tragwerken eingesetzt. Hierbei wird nicht die direkte Fußpunkterregung des zu analysierenden Systems untersucht, sondern die Maximalantwort der signifikanten Eigenformen mit Hilfe eines Beschleunigungs-Antwortspektrums berechnet. Dieses kann entweder einer Bemessungsnorm entnommen werden oder im Sonderfall durch Integration der Bewegungsgleichung gewonnen werden.
Auf üb = 1,0 m/s² normierte Bodenbeschleunigung aus Erdbeben
Die Bewegungsgleichung (12) in modalen Koordinaten lautet in abgewandelter Form:
Deren Lösung erhält man zu:
unter Verwendung des DUHAMEL‑Integrals
hierin bedeuten
| ßi | Anteilsfaktor |
| ωi | Eigenkreisfrequenz der i‑ten Eigenform |
| ξi | Lehr'sches Dämpfungsmaß der i‑ten Eigenform |
| üb(t) | Bodenbeschleunigung durch Erdbeben |
Der Vektor ts gibt die anteiligen Kotenverschiebungen wieder, die sich bei Aufbringung einer Einheitsverformung der gelagerten Systemknoten ergeben. Innerhalb des Programms wird davon ausgegangen, dass es sich hierbei um kinematische Verschiebungen des Gesamtsystems handelt (siehe „Systemerregung durch Bodenbeschleunigung“).
Die Ordinaten der Verschiebungs‑, Geschwindigkeits- und Beschleunigungs-Antwortspektren ergeben sich aus den Maximalordinaten von S*d(t) für unterschiedliche Schwingzeiten.
Diese werden in der Regel noch normiert und geglättet (siehe auch Antwortspektren der unterschiedlichen Normen).
Die nachfolgende Abbildung zeigt ein auf Basis der oben abgebildeten Bodenbeschleunigung berechnetes ungeglättetes, elastisches Beschleunigungs-Antwortspektrum. Hierbei wurde eine Dämpfung von 5% zugrundegelegt.
Aus dem Beschleunigungs-Antwortspektrum werden für die weitere Berechnung statische Ersatzlasten der jeweiligen Eigenform in folgenden Weise ermittelt:
Hieraus ergeben sich für jede Eigenform Verformungen und Schnittgrößen, die vor der weiteren Verwendung ggf. noch statistisch überlagert werden dürfen.
Eine wichtige Kenngröße zur Beurteilung, ob genügend Modalbeiträge berücksichtigt worden sind, ist die sogenannte effektive modale Masse. Diese ergibt sich unter Beachtung von (8) zu:
Bei Erfassung aller Eigenformen entspricht diese der Gesamtmasse des untersuchten Tragwerks. In der Regel wird gefordert, dass die effektive modale Masse mindestens 90% der Gesamtmasse betragen soll (siehe EC 8 usw.) Diese Forderung wird bei üblichen Hochbauten schon durch die Berücksichtigung der ersten signifikanten Eigenformen erfüllt.
Bei Tragwerken mit vielen torsionsweichen Stäben und rotatorischer Massenbelegung oder quasi starren Teilsystemen kann die Erfüllung dieser Forderung jedoch problematisch werden, da dann eine sehr große Anzahl von Eigenformen zu berechnen ist. Deshalb sollte in diesem Fall über eine Abänderung des Rechenmodells oder der gewählten Massenbelegung nachgedacht werden.
Die in den Eigenmassen des Tragwerks nicht enthaltenen Ausbaumassen sowie die nach Norm zu berücksichtigenden Massenanteile infolge Verkehr sind durch geeignete Massen aus Lastfällen oder Punktmassen vom Benutzer festzulegen.
Die ZPA‑Methode (Zero-Period-Acceleration) stellt eine Möglichkeit dar, fehlende effektive Massen zu berücksichtigen. Sie wird auch statische Korrektur genannt. Hierbei werden zusätzliche statische Lastfälle berechnet, welche die fehlenden effektiven Massen mit einem anzugebenden Spektralwert erfassen. Unter der Annahme, dass die nicht erfassten Moden höherer Ordnung keine dynamische Verstärkung aufweisen, kann diese Methode sinnvoll sein.
Im Allgemeinen kann für jede Beschleunigungsrichtung der statische Korrekturlastvektor pc wie folgt berechnet werden:
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(24) |
Mit der modalen Last ri nach Gleichung 12 und dem Ansatz aus Gleichung 18 für die Erdbebenlast folgt:
\begin{align*}
r_{\mathrm{i}}(t)=\varphi_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}} \cdot p(t)=-\varphi_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}} \cdot M \cdot \ddot{u}_{\mathrm{b}}(t) \cdot t_{\mathrm{s}}=-\beta_{\mathrm{i}} \cdot \ddot{u}_{\mathrm{b}}(t)
\end{align*}
Die Beschleunigung üb(t) ist durch einen ausgesuchten Spektralwert Sa,ZPA (meist Sa(T=0)) des Antwortspektrums definiert. Aus Gleichung 24 ergibt sich:
\begin{align*}
p_{\mathrm{c}}=-M \cdot \ddot{u}_{\mathrm{b}} \cdot t_{\mathrm{s}}+\sum_{\mathrm{i}} \beta_{\mathrm{i}} \cdot \ddot{u}_{\mathrm{b}} \cdot\left(M \cdot \varphi_{\mathrm{i}}\right)=\mathrm{S}_{\mathrm{a}, \mathrm{ZPA}} \cdot M \cdot\left(\sum_{\mathrm{i}}\left(\beta_{\mathrm{i}} \cdot \varphi_{\mathrm{i}}\right)-t_{\mathrm{s}}\right)=S_{\mathrm{a}, \mathrm{ZPA}} \cdot M \cdot \Psi
\end{align*}
Der Ausdruck ψ in der Gleichung kann als eine Art Eigenform des noch nicht erfassten Massenanteils angesehen werden. Die effektiven Massen des ZPA‑Anteils aller k Knoten der Massenmatrix betragen:
\begin{align*}
M_{\text {eff }, Z P A}=\sum_{\mathrm{k}}\left(M_{\mathrm{k}} \cdot \psi_{\mathrm{k}}\right)
\end{align*}
Die Ergebnisse der zusätzlichen statischen Lastfälle (Korrekturlasten) werden bei der statistischen Überlagerung ebenfalls wie weitere Eigenformen behandelt. Als Überlagerungsvorschrift wird die SRSS‑Methode verwendet, da für den ZPA‑Anteil keine Eigenfrequenz vorliegt.
