Auslegung eines Schwingungsdämpfers

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Auslegung eines Schwingungsdämpfers

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Dieses Beispiel soll, entsprechend den Ansätzen aus der Literaturstelle von Petersen C. Schwingungsdämpfer im Ingenieurbau die Auslegung eines Schwingungsdämpfers veranschaulichen. In diesem Beispiel besteht der Einzeldämpfer aus einer vertikalen Feder unter dem Träger und einer Punktmasse an unteren Ende der Feder.

Tabelle Materialkennwerte

Querschnittspolygon

Querschnittspolygon

Eigenform 1 des Systems A1

System A1 mit verteilter Massenbelegung (Material 1) und 1. Eigenform

Nach Petersen zeigt ein Schwingungsdämpfer am Ort und in Richtung der größten Amplitude der zu dämpfenden Eigenform die größte Wirkung. Da in InfoCAD die Eigenformen entsprechend Gleichung 8 normiert sind entspricht die „kinetisch äquivalente Masse“ M1 = 1/u² des betreffenden Freiheitsgrades u der Eigenform.

Somit beträgt M1 = 1/0,466912 = 4,587 t für die Feldmitte des betrachteten Trägers.

Eigenform 1 des Ersatzsystems B1

Ersatzsystem B1 mit „kinetisch äquivalente Masse“ (Punktmasse und gewichtsloses Material 2) und Eigenform

Die Abbildung zeigt, dass das Ersatzsystem B1 mit nur einer Punktmasse M1 in seiner Eigenform am Massenpunkt die gleiche Amplitude aufweist wie das ursprünglich System A1. Durch die zusätzliche Dämpfermasse MD von 0,275 t (ca. 6% von M1) wird das neue Ersatzsystem B2 zu einem Zwei­mas­sen­schwin­ger. Nach Petersen berechnet sich für einen Zwei­mas­sen­schwin­ger die optimale Federsteifigkeit kD und viskose Dämpfung dD des Einzeldämpfers zu:

 kD = ( 2·π·fD )2·MD = (2·π·25,661)2·0,275 
= 7149 [kN/m] = 7,149 [MN/m]

und

 dD = 2·MD·2·π·f1·ζ D
= 2·0,275·2·π·27,2·0,1374 = 12,915 [kN s/m]   

mit

 fD = M1/( M1 + MD )·f1 
= 4,587/(4,587 + 0,275)·27,2 = 25,661 [Hz]
 ζ D = { 3/8·MD·M12 /( M1 + MD )3 }1/2 
= {3/8·0,275·4,5872/(4,587+0,275)3}1/2 = 0,1374 [‑]

Eigenschaften des Federelementes

Zusätzlich wird von einem Lehr'schen Dämpfungsmaß aller Eigenformen von 1 % ausgegangen.

Tabelle der Punktmassen

System A2

Neues System A2 mit verteilter Massenbelegung (Material 1), Dämpfer und der dynamischen Belastung

Response uz des Knotens in Feldmitte des Systems A1

Response uz des Knotens in Feldmitte des Systems A1 mit Eigenmasse aber ohne Dämpfer

Response uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2

Response uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2 mit Eigenmasse und mit Dämpfer

Die Gegenüberstellung der Ergebnisse der Responsuntersuchtung der beiden Systeme A1 und A2 zeigt gut die Wirkung des Dämpfers. Die viskose Dämpfung kann beim stationären Response nicht berücksichtigt werden. Dazu ist eine direkte Zeitschrittintegration notwendig, welche zur Veranschaulichung am System A2 einmal ohne und einmal mit viskoser Dämpfung in der Feder und der mit 29,84 Hz (2. Eigenform) sinusförmig schwingenden Linienlast des Lastfalls 1 untersucht wird.

Schwingung: Verschiebung uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2 ohne viskose Dämpfung

Verschiebung uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2 ohne viskose Dämpfung

Schwingung: Verschiebung uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2 mit viskoser Dämpfung

Verschiebung uz des Knotens in Feldmitte des Systems A2 mit viskoser Dämpfung

Die Maximalamplitude der Verschiebung uz in Feldmitte beträgt bei dem System ohne viskose Dämpfung nach 4 Se­kun­den 7,99 mm und entspricht damit schon fast dem Ergebnis der Responseuntersuchung, welche das Ergebnis für den eingeschwungenen Zustand liefert (t = ∞, uz = 8 mm). Die Verschiebungen uz des Systems mit viskoser Dämpfung sind deutlich kleinere und viel früher schon auf ihrem Maximum von 1,366 mm.