Kennwerte, Lasten, Berechnungsvorgaben, Eigenfrequenzen und Eigenformen, Berechnungsschema, Vergleichsrechnung, Kombination, Ergebnisse, Kennwert der Empfindlichkeit gegenüber Geschossverschiebungen
Das nachfolgende Beispiel zeigt die Anwendung des Antwortspektrenverfahrens anhand eines unregelmäßigen räumlichen Tragwerks. Die Handhabung eines ähnlichen Modells wird auch in dem Video "https://download.infograph.de/video_de/Erdbebennachweis nach der Antwortspektrenmethode.mp4" gezeigt.
Material
| Beton | C20/25 nach DIN EN 1992‑1‑1 |
| Betonstahl | 500 M / 500 S |
Kennwerte für den Erdbebennachweis
SaP,R (475 Jahre, Aachen): 2,557 m/s² Baugrundklasse: A Bedeutungskategorie III: Verhaltensbeiwert: |
Bodenbeschleunigung agR = 2,557 / 2,5 = 1,023 m/s² Geologische Untergrundklasse: R γI = 1,2 q = 0,8·1,5 = 1,2 |
Für das dargestellte Rahmentragwerk aus Stahlbeton werden die nachfolgenden Berechnungen durchgeführt:
| • | Ermittlung der Eigenwerte und Eigenformen des Tragwerksmodells unter Berücksichtigung der Massen entsprechend Abschnitt 4.3.3.3.1 der Norm. |
| • | Ermittlung der horizontalen statischen Ersatzlasten nach Abschnitt 4.3.3.3.1 der Norm. |
| • | Kontrolle der effektiven modalen Massen des Tragwerksmodells. |
| • | Statistische Kombination der modalen Schnittgrößen und Verschiebungen nach Abschnitt 4.3.3.3.2 der Norm. |
| • | Berücksichtigung zufälliger Torsionswirkungen nach Abschnitt 4.3.3.3.3 der Norm. |
| • | Kombination der Beanspruchung infolge der Komponenten der Erdbebeneinwirkung nach Abschnitt 4.3.3.5.1 (3) der Norm. |
| • | Kombinationen der Erdbebeneinwirkung mit anderen Einwirkungen nach DIN EN 1990. |
| • | Nachweise nach DIN EN 1992‑1‑1. |
| • | Berücksichtigung der Einflüsse nach Theorie 2. Ordnung (P‑Δ‑Effekte) nach DIN EN 1998‑1, Abschnitt 4.4.2.2 (2). |
 |  |
| Lastfall 1: Eigenlast und Ausbau | Lastfall 2: Verkehr auf Innenflächen |
Lastfall 3: Verkehr auf Außenflächen
 |  |
| Lastfall 4: Wind in x‑Richtung | Lastfall 5: Wind in y‑Richtung |
|
Wirkung der Massen in Richtung X Y Z um Achse X Y Z
Eigenwerte Anzahl der Eigenwerte: 5 Maximaler Vektorraum : 10 Iterationsgenauigkeit: 1,00 [%] |
Antwortspektrum DIN EN 1998-1:2021 Grundwerte der Bodenbeschleunigungen ax: 1,023 [m/s²] ay: 1,023 [m/s²] az: 0,000 [m/s²] Komponenten der Beschleunigungen werden getrennt aufgebracht Bezugssystemwinkel alpha: 0,00 [°] Untergrundverhältnisse : A-R Reaktionsparameter horizontal S: 1,000 TB: 0,100 TC: 0,200 TD: 2,000 Reaktionsparameter vertikal S: 1,000 TB: 0,050 TC: 0,200 TD: 1,200 Lehr'sches Dämpfungsmaß : 0,050 Bedeutungsbeiwert GammaI: 1,200 Verhaltensbeiwerte qh: 1,200 qv: 1,000 |
Massen aus Lastfällen erzeugen
Lastfall Faktor
-------------------
1 1,00
2 0,21
3 0,30
Summe der aufgebrachten Massen (global)
Mx [t] My [t] Mz [t]
--------------------------------------------------
Eigenmassen : 495,034 495,034 495,034
Punktmassen : 0,000 0,000 0,000
Massen aus LF : 121,890 121,890 121,890
--------------------------------------------------
Summe : 616,923 616,923 616,923
 |  |
| Eigenform 1: f = 1,43 Hz | Eigenform 2: f = 1,47 Hz |
 |  |
| Eigenform 3: f = 2,03 Hz | Eigenform 4: f = 3,54 Hz |
Eigenform 5: f = 3,63 Hz
Effektive modale Massen (global)
Eigenform Mx eff [t] My eff [t] Mz eff [t]
-----------------------------------------------
1 323,206 183,332 0,000
2 209,813 329,520 0,000
3 13,016 37,500 0,000
4 46,327 5,072 0,034
5 3,753 41,475 0,003
-----------------------------------------------
Summe: 596,115 596,899 0,037
Anteil der Gesamtmasse:
97 [%] 97 [%] 0 [%]
Die berücksichtigten effektiven modalen Massen betragen 97% der aufgebrachten Massen. Somit ist nach Abschnitt 4.3.3.3.1 (3) der Norm die Anzahl der untersuchten Eigenformen ausreichend.
Nach Abschnitt 4.3.3.5.1 (3) ist der Nachweis der horizontalen Erdbebeneinwirkung in zwei zueinander senkrechten Richtungen zu führen. Das oben abgebildete Berechnungsschema zeigt die Vorgehensweise. Die statistische Überlagerung der Modalbeiträge wird programmseitig durchgeführt. Die zufälligen Torsionswirkungen nach Abschnitt 4.3.3.3.3 (1) der Norm können für dieses Tragwerk in der nachfolgenden Weise Berücksichtigung finden.
Fundamentschub
= 0,595·1,023·1,2·617 = 450 kN für T = 1/1,43 = 0,7 s mit
M1i = e1i·Fi = hi·Li²/6 Lastordinate der Trapezlast des Geschosses i hi = ±0,3·Fi /Li Exzentrizität von Fi eai = ±0,05·Li |
|
Decke über Geschoss |
Höhe zi [m] |
Masse mi [t] |
si·mi [tm] |
H‑Kraft Fi [kN] |
Breite Lxi [m] |
Trapezlast hxi [kN/m] |
Breite Lyi [m] |
Trapezlast hyi [kN/m] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 |
10,5 |
125 |
125 |
153 |
8 |
± 5,7 |
13 |
± 3,5 |
2 |
7,0 |
234 |
157 |
192 |
12 |
± 4,8 |
19,5 |
± 3,0 |
1 |
3,5 |
257 |
86 |
105 |
12 |
± 2,6 |
19,5 |
± 1,6 |
Summe |
|
617 |
367 |
450 |
|
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| Lastfall 51: Zufällige Torsion (x) | Lastfall 52: Zufällige Torsion (y) |
Kombination der Beanspruchung infolge der Komponenten der Erdbebeneinwirkung nach Abschnitt 4.3.3.5.1 (3) der Norm.
Kombinationen der Erdbebeneinwirkung mit anderen Einwirkungen nach DIN EN 1990.
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Die nachfolgend abgebildeten Schnittgrößen min/max Mz zeigen für eine ausgesuchte Stabgruppe den unterschiedlichen Einfluss von Windkraft (ständige und vorübergehende Situation) und Erdbebeneinwirkung (Erdbebensituation). Man erkennt, dass hier die Einwirkungen aus Erdbeben maßgebend werden.
Ausgewählte Schnittgrößen min,max Mz aus ständiger und vorübergehender Situation [kNm]
Ausgewählte Schnittgrößen min,max Mz aus Erdbebensituation [kNm]
Die Berechnung erfolgt hier exemplarisch für die unterste Etage nach Abschnitt 4.4.2.2 (2) der Norm.
Maximale Deformation in y‑Richtung infolge der Erdbebensituation
Ptot = Σ Gk + Σ ψ2·Qk = 5675 + 0,3 · (624 + 819) = 6108 kN
dr = ds = de · q = 7,3·1,2 = 8,8 mm ; h = 3500 mm; Vtot = Fb = 450 kN
Empfindlichkeitsbeiwert der gegenseitigen Stockwerksverschiebung
\begin{align*}
\theta = \frac{P_{\mathrm{tot}}\cdot d_{\mathrm{r}}}{V_{\mathrm{tot}} \cdot h}
= \frac{6108 \cdot 8,8}{450 \cdot 3500}
= 0,03 \leq 0,1
\end{align*}
=> Wirkungen nach Theorie 2.Ordnung müssen nicht berücksichtigt werden.
