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An dem nachfolgend dargestellten Brückenpfeiler soll das Antwortspektrumverfahren unter Anwendung der ZPA‑Methode veranschaulicht werden. Das Tragwerk besteht aus C35/45 nach DIN EN 1992‑1‑1. Die horizontalen Bettungsmoduln für die Pfähle wurden in diesem Beispiel mit 500 MN/m³ angenommen. In vertikaler Richtung sind die Pfähle an ihrem unteren Ende fest gelagert. Die für das Beispiel angenommene Masse des Überbaus der Brücke wurde über eine Punktmasse (5000 t) 5 m über dem Pfeiler erfasst. Im Rahmen des Beispiels wird nur die globale x‑Richtung untersucht und von Erdbebenzone 3 und den Untergrundverhältnissen "A‑R" nach DIN 4149 ausgegangen. Zur besseren Vergleichbarkeit wird in allen Fällen die statistische Kombinationsmethode SRSS verwendet.
System mit Abmessungen [m] |
Draufsicht mit Pfeilerquerschnitt an der Einspannstelle |
Summe der aufgebrachten Massen (global) Mx [t] My [t] Mz [t] -------------------------------------------------- Eigenmassen : 4888,313 0,000 0,000 Punktmassen : 5000,000 0,000 0,000 Massen aus LF : 0,000 0,000 0,000 -------------------------------------------------- Summe : 9888,313 0,000 0,000 |
Effektive modale Massen (global) Eigenform Mx eff [t] My eff [t] Mz eff [t] ----------------------------------------------- 1 6554,330 0,000 0,000 2 940,564 0,000 0,000 3 521,525 0,000 0,000 4 787,150 0,000 0,000 5 586,590 0,000 0,000 6 0,000 0,000 0,000 7 88,883 0,000 0,000 8 21,056 0,000 0,000 9 342,112 0,000 0,000 ----------------------------------------------- Summe: 9842,209 0,000 0,000 Anteil der Gesamtmasse: 100 [%] 0 [%] 0 [%] |
Wie man der Tabelle entnehmen kann, werden mit 9 Eigenformen bereits 100 % der Eigenmassen angeregt. Dies kann somit als Referenzlösung angesehen werden. Die 1. und 2. Eigenform weisen eine effektive modale Massen von 66,3 % bzw. 9,5 % auf. Mit den beiden ersten Eigenformen werden also 75,8 % der Massen angeregt, was nicht die Forderung der Norm nach 90 % Anregung erfüllt. Bei den angenommenen Untergrundverhätnissen "A‑R" wird der Plateauwert des Antwortspekrums erst mit der dritte Eigenform (T = 0,14 sec < TC) erreicht. Die 6. Eigenform liegt wieder unterhalb des Plateaus (T = 0,038 sec < TB).
Berechnungsvorgaben Dynamik Wirkung der Massen in Richtung X um Achse
Eigenwerte Anzahl der Eigenwerte: 9 Maximaler Vektorraum : 40 Iterationsgenauigkeit: 1,00 [%] Antwortspektrum DIN 4149 (Ausgabe 04/2005) Grundwerte der Bodenbeschleunigungen ax: 0,800 [m/s²] ay: 0,000 [m/s²] az: 0,000 [m/s²] Bezugssystemwinkel alpha: 0,00 [°] |
Eigenfrequenzen Nr. Eigenwert rel. Tol. Omega Eigenfrequenz Periode [1/s²] [-] [rad/s] [Hz] [s] --------------------------------------------------------------------- 1 1,8975e+00 2,0225e-23 1,377 0,219 4,561308 2 2,2315e+02 2,7097e-25 14,938 2,377 0,420613 3 2,0408e+03 1,6255e-20 45,175 7,190 0,139085 4 7,4138e+03 8,9772e-16 86,103 13,704 0,072973 5 1,5208e+04 1,8038e-13 123,322 19,627 0,050950 6 2,7683e+04 4,2009e-11 166,383 26,481 0,037763 7 3,3484e+04 9,6951e-12 182,987 29,123 0,034337 8 7,4012e+04 3,3768e-10 272,052 43,298 0,023096 9 1,4252e+05 6,1725e-06 377,519 60,084 0,016643 |
Untergrundverhältnisse : A-R
Reaktionsparameter S: 1,000 TB: 0,050 TC: 0,200 TD: 2,000
Lehr'sches Dämpfungsmaß : 0,050
Bedeutungsbeiwert Gamma1: 1,400
Verhaltensbeiwert q: 1,500
Für den ZPA‑Wert wurde eine Schwingzeit von 0,2 sec angenommen. Damit wird der Spektralwertes Sa,ZPA in der Größe des Plateauwertes des Antwortspektrums angenommen und passt so gut für Schwingzeiten unter 0,2 sec.
Berechnungsvorgaben Dynamik Wirkung der Massen in Richtung X um Achse
Eigenwerte Anzahl der Eigenwerte: 2 Maximaler Vektorraum : 40 Iterationsgenauigkeit: 1,00 [%] Antwortspektrum DIN 4149 (Ausgabe 04/2005) Grundwerte der Bodenbeschleunigungen ax: 0,800 [m/s²] ay: 0,000 [m/s²] az: 0,000 [m/s²] |
Effektive modale Massen (global) Eigenform Mx eff [t] My eff [t] Mz eff [t] ----------------------------------------------- 1 6554,330 0,000 0,000 2 940,564 0,000 0,000 3 2393,436 0,000 0,000 ----------------------------------------------- Summe: 9888,331 0,000 0,000 Anteil der Gesamtmasse: 100 [%] 0 [%] 0 [%] |
Bezugssystemwinkel alpha: 0,00 [°]
ZPA-Methode (Zero Period Acceleration) aktiviert Schwingzeit T_ZPA: 0,200 [s]
Untergrundverhältnisse : A-R
Reaktionsparameter S: 1,000 TB: 0,050 TC: 0,200 TD: 2,000
Lehr'sches Dämpfungsmaß : 0,050
Bedeutungsbeiwert Gamma1: 1,400
Verhaltensbeiwert q: 1,500
Antwortspektrum
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Eigenform 1 |
Eigenform 1+2 |
Eigenform 1 bis 9 |
Eigenform 1+ZPA |
Eigenform 1+2+ZPA |
Schnittgrößen My [kNm]; Antwortspektrum überlagert, prozentuale Abweichung von der Referenzlösung
Wie man der Gegenüberstellung der Schnittgrößenverläufe infolge der überlagerten Erdbebenlasten entnehmen kann, liefert die ZPA‑Methode mit zwei Eigenformen ein Ergebnis ähnlich der Referenzlösung mit 9 Eigenformen. Man erkennt, dass die ZPA‑Methode nur hochfrequente Eigenformen gut approximiert. Damit sind u. a. die verbleibenden Abweichungen zu erklären.
