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Unter Ausnutzung der Gleichungen (7) und (8) kann eine Transformation der Bewegungsgleichungen in den Raum der Eigenvektoren durchgeführt werden.
Mit dem Ansatz
und Linksmultiplikation der Bewegungsgleichung (1) mit ΦT ergibt sich:
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(10) |
Man erreicht hiermit, dass sich das Gleichungssystem (10) in modalen Koordinaten bis auf das Dämpfungsglied entkoppelt.
Macht man für die Dämpfungsmatrix den folgenden Ansatz
so erhält man unter Beachtung der Gleichungen (7) und (8) die Bewegungsgleichung in entkoppelter Form zu:
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(12) |
mit
| ω | Eigenkreisfrequenz |
| ξi = D bzw. (α+βωi2)/2ωi | modales Dämpfungsmaß |
 \begin{align*}
r_{\mathrm{i}}(t)=\varphi_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}} p(t)
\end{align*} | modaler Lastvektor |
| φi | i‑ter Eigenvektor |
| i | Index der Eigenwerte, Eigenvektoren |
Die Integration der Gleichungen (12) kann entweder analytisch oder mit einem numerischen Integrationsschema durchgeführt werden.
Der Ansatz (11) ist bei Tragwerken mit reiner Eigendämpfung in der Regel gerechtfertigt. Einzeldämpfer können hiermit jedoch nicht wirklichkeitsnah erfasst werden.
Ein wesentlicher Vorteil der modalen Analyse besteht darin, dass in aller Regel nicht der vollständige Eigenvektorraum berücksichtigt werden muss, sondern aufgrund der bei Bauwerken immer vorhandenen Eigendämpfung nur die ersten n Eigenformen (n << nu) von merklichem Einfluss auf die Tragwerksantwort sind. Dadurch wird der Berechnungsaufwand gegenüber einer direkten Integration der Bewegungsgleichungen erheblich reduziert.
