Stationärer Response

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Stationärer Response

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Bei einer periodischen Erregerkraft zeigt sich, dass die Systemantwort nach einer gewissen Ein­schwing­phase alleine durch den partikulären Lösungsanteil der Dif­fe­ren­ti­al­glei­chun­gen ge­geben ist. Der homogene Lösungsanteil konvergiert aufgrund der Systemdämpfung gegen Null. Da im eingeschwungenen Zustand der zeitliche Verlauf der Systemantwort dem Er­regungs­kraft­verlauf folgt, erscheint die Zeitintegration für eine ein­zelne Erregerfrequenz wenig sinn­voll. Interessanter ist hier die Ermittlung der je­wei­li­gen Maximalamplituden in Abhängigkeit von den zugehörigen Er­reger­frequenzen.

Der Ansatz einer cosinusförmigen Erregerkraft liefert:

p(t) = p* cos(ωp·t + φ) = p*re cos(ωp·t) - p*im sin(ωp·t)

(14)

mit

p* Kraftamplitudenvektor (Lastvektor)
ωp Kreisfrequenz der Erregung mit ωp = 2π·fp
φ Phasenverschiebung der Erregung

 

Ein entsprechender partikulärer Lösungsansatz ergibt:

u(t) = u* cos(ωp·t + ψ) = u*re cos(ωp·t) - u*im sin(ωp·t)

(15)

mit

u* Verformungsamplitudenvektor
(Maximalverschiebung im eingeschwungenen Zustand)
ψ Phasenverschiebung der Antwort

Hieraus ergibt sich nach Einsetzen in die Bewegungsgleichungen das Gleichungssystem für den Real- und Imaginärteil der Systemantwort in Abhängigkeit von der Er­reger­frequenz.

(‑ωp2 M + K) u*re - ωp C u*im = p*re

ωp C u*re + (‑ωp2 M + K) u*im = p*im

(16)

In modalen Koordinaten wird wieder eine Entkopplung der Gleichungen erreicht.