Querschnitt und Material, Schnittgrößen und Bewehrung, Bemessungsvorgaben, Einwirkungen, Protokoll, Stütze 1
In diesem Beispiel wird die Giebelstütze von Richter (2007), welche schon als Beispiel für eine nichtlineare Brandberechnung nach dem allgemeinen Verfahren diente, mit dem vereinfachten Rechenverfahren mit Hilfe der Zonenmethode nach EN 1992‑1‑2, Anhang B.2, bemessen. Die Stütze ist am Fußpunkt eingespannt und am oberen Ende nicht gehalten. Zur Berücksichtigung der Lastexzentrizität wird ein horizontaler Ersatzstab am oberen Stützenende modelliert. Zunächst wird geprüft, welche Bewehrung zur Erreichung der Feuerwiderstandsklasse R90 nötig ist. Anschließend werden die sich ergebenden Bemessungsmomente, mit den Zusatzmomenten nach dem Verfahren mit Nennkrümmungen zur Berücksichtigung der Effekte aus Theorie II. Ordnung, mit denen der nichtlinearen Berechnung verglichen.
System mit Lasten und Abmessungen [m bzw. mm]
Materialparameter:
Beton: C30/37-EN, quarzhaltige Zuschläge, αc = 25 W/(m² K), εm = 0,7
Betonstahl: B500A, 8 ∅ 28 (warmgewalzt), Achsabstand vom Rand u = 55 mm
Für die Vergleichbarkeit mit der nichtlinearen Berechnung wird die im Systembild dargestellte Belastung als Bemessungseinwirkung sowohl für die ständige und vorübergehende Situation, als auch für die Brandfallsituation angesetzt. Es wird nur Knicken um die y-Achse untersucht mit einer Knicklänge gleich der doppelten Stützenlänge (2 · 9,55 m = 19,1 m) gemäß Bild 5. Der Querschnitt wird dreiseitig brandbeansprucht an den Rändern in Richtung der Querschnittsrichtungen +y, -y und +z.
Normalkraft Nx [kN] und Moment My [kNm] der Brandfallsituation; erf. Längsbewehrung As [cm²]
Bemessungsvorgaben, Material und Querschnittswerte (Normaltemperatur / Brand)
und Einwirkungen EN 1992‑1‑1:
Bemessung nach EN 1992‑1‑1:2014
Die Nachweise gelten für Bauwerke aus Stahlbeton und Spannbeton mit und ohne
Verbund. Die Einwirkungen werden nach EN 1990, Gl. (6.10), mit den
spezifischen Teilsicherheits- und Kombinationsbeiwerten kombiniert.
Alle Nachweise erfolgen für die Extremwerte der Einwirkungen.
Bemessungsvorgaben
Qu. Expos. Vorspannung Bewehrung Ermüdung Ri. De- Spannung
klasse des Bauteils M R B Q T S B Q T P C V br. ko. C B P
3 XC4 Nicht vorgesp. . . x . . . . . . . . . . . . . .
(M) Mindestbewehrung zur Sicherstellung der Robustheit.
(R) Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite.
(B) Längsbewehrung aus Bemessung sowie im Ermüdungs- und Spannungsnachweis.
(Q) (Mindest-)Querkraftbewehrung aus Tragfähigkeit und Ermüdung.
(T) Torsionsbewehrung im Tragfähigkeits- und Ermüdungsnachweis.
(S) Nachweis der Schubfuge.
(P) Spannstahl im Ermüdungs- und Spannungsnachweis.
(C) Betondruckspannungen, Beton im Ermüdungsnachweis unter Längsdruck.
(V) Beton im Ermüdungsnachweis unter Querkraftbeanspruchung.
Vorgaben für den Nachweis der Längs- und Schubbewehrung
M,N Bemessungsmodus für Biegung und Längskraft:
(ST) Standard, (SY) Symmetrisch, (DG) Druckglied.
(*) Bem. ohne Berücksichtigung vorgegebener Bewehrungsverhältnisse.
fyk Stahlgüte der Bügel.
Theta Neigung der Betondruckstreben.
P. Balken werden wie Platten bemessen.
K. Bemessung für resultierende Querkraft am Kreis-/Ringquerschnitt.
Asl Vorh. Biegezugbewehrung nach Bild 6.3, autom. Erhöhung bis Maximum.
rhow Faktor für Mindestbewehrungsgrad rho.w,min nach Kap. 9.3.2(2).
as Faktor für Biegebewehrung von Platten in Querrichtung nach 9.3.1.1(2).
Red. Reduktionsfaktor der Vorspannung zur Bestimmung der Zugzone für die
Verteilung der Robustheitsbewehrung bei Flächenelementen.
Roh- Asl [cm²] Red.
Qu. Beton dichte Bem. fyk cot Bem. Bild 6.3 Faktor Vor-
[kg/m³] M,N [MPa] Theta P.K. vorh. max rhow as spg.
3 C30/37-EN . ST . . . . . . . . .
Betonstützen
Nr. Bezeichnung Knicklänge um y-Achse Knicklänge um z-Achse Äquiv. Lambda.lim
Definition L0,y [m] Definition L0,z [m] Moment vereinf.
1 Giebelstütze Bild 5.7b . Kein Knicken . . .
Vorgaben Brandnachweis
+y,-y,+z,-z Auswahl der brandbeanspruchten Querschnittsränder. Definiert wird
die zu dem entsprechenden Rand zeigende Richtung im Stabsystem.
Nr. Bezeichnung Branddauer Brandbeanspruchung
[min] +y -y +z -z
1 Giebelstütze 90 x x x .
Teilsicherheitsbeiwerte für Baustoffe im Grenzzustand der Tragfähigkeit
Beton Betonstahl Spannstahl
(gamma.c) (gamma.s) (gamma.s)
Ständige und vorübergehende Kombination 1,50 1,15 1,15
Außergewöhnliche Kombination 1,20 1,00 1,00
Brandfallkombination 1,00 1,00 1,00
Erdbebenkombination 1,50 1,15 1,15
Nachweis gegen Ermüdung 1,50 1,15 1,15
Materialkennwerte für Beton
Rohd. Rohdichte des Leichtbetons [kN/m³]
fck charakteristische Zylinderdruckfestigkeit [MN/m²]
a.cc Beiwert zur Berechnung des Bemessungswerts fcd = a.cc * fck / gamma.c
fctm Mittelwert der zentrischen Zugfestigkeit [MN/m²]
a.ct Beiwert zur Berechnung des Bem.werts fctd = a.ct * fctk;0,05 / gamma.c
mit fctk;0,05 = 0,7 * fctm
e.c1 Dehnung unter Maximalspannung nach Bild 3.2 [o/oo]
e.cu1 rechnerische Bruchdehnung nach Bild 3.2 [o/oo]
e.c2 Dehnung unter Maximalspannung nach Bild 3.3 [o/oo]
e.cu2 rechnerische Bruchdehnung nach Bild 3.3 [o/oo]
Qu. Beton Rohd. E-Modul Festigkeiten [MN/m] Grenzdehnungen [o/oo]
[kg/m³] [MN/m²] fck a.cc fctm a.ct e.c1 e.cu1 e.c2 e.cu2
3 C30/37-EN . 33000 30,00 1,00 2,90 1,00 -2,20 -3,50 -2,00 -3,50
Querschnittsgeometrie und Bewehrung für Stäbe
As Grundbewehrung [cm²]
d1 Achsabstand der Bewehrung zum nächsten Querschnittrand [m]
Es,fyk E-Modul und Streckgrenze der Bewehrung [MN/m²]
Kl Duktilitätsklasse des Betonstahls
Qu. Pkt. Beton Bewehrung
y [m] z [m] Es,fyk[MN/m²] Kl y [m] z [m] d1 [m] As [cm²]
3 1 0,000 0,000 200000 500 A 0,055 0,445 0,055 0,00
2 0,500 0,000 200000 500 A 0,145 0,445 0,055 0,00
3 0,500 0,500 200000 500 A 0,055 0,145 0,055 0,00
4 0,000 0,500 200000 500 A 0,055 0,055 0,055 0,00
5 200000 500 A 0,355 0,055 0,055 0,00
6 200000 500 A 0,445 0,055 0,055 0,00
7 200000 500 A 0,445 0,355 0,055 0,00
8 200000 500 A 0,445 0,445 0,055 0,00
Bei der Querschnittsbemessung wird die Maximalspannung des Betonstahls
zu k * fyk / gamma.s angenommen mit k gemäß EN 1992-1-1, Tabelle C.1.
Duktilitätsklasse A/B/C: k = 1,05/1,08/1,15.
Betonstützen - Reduzierte Querschnitts- und Materialkennwerte unter Brand
az Breite der geschädigten Zone nach Gl. (B.13) [cm]
Ac,fi Fläche des reduzierten Querschnitts nach der Zonenmethode [cm²]
fck,fi Reduzierte charakteristische Betondruckfestigkeit nach B.2(3) [MN/m²]
fyk,fi Temperaturabhängige charakteristische Betonstahlzugfestigkeit [MN/m²]
Es,fi Temperaturabhängiger E-Modul der Bewehrung [MN/m²]
Herst. Warmgewalzter oder kaltverformter Betonstahl
Nr. Bezeichnung Beton Bewehrung
az Ac,fi fck,fi Pkt. fyk,fi Es,fi Herst.
[cm] [cm²] [MN/m²] [MN/m²] [MN/m²]
1 Giebelstütze 4,01 1930 30,00 1 297,84 123951 warm
2 404,66 161863 warm
3 410,72 164286 warm
4 410,32 164129 warm
5 500,00 200000 warm
6 410,32 164129 warm
7 404,66 161864 warm
8 297,84 123951 warm
Standard Bemessungsgruppe
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Lastfälle
---------
3 Lastgruppe
1. Ständige und vorübergehende Situation
Endzustand
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
1. Brandfall Situation
Endzustand
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Auszug aus dem ausführlichen Protokoll für den Stützenfuß (Stütze 1, Stab 1, Ort 1):
NACHWEISE FÜR STÄBE
Nachweis der Längsbewehrung
Die berechnete erforderliche Bewehrung enthält die vorgegebene Grundbewehrung.
(B) Bemessung in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit
Druckbewehrung ist bei überwiegender Biegung durch "*" markiert.
In Querschnittsteilen nach 6.1 (5) wird die Betonstauchung nicht begrenzt.
Die Mindestlängsbewehrung nach 9.2.1.1 und 9.3.1.1 wird nicht ermittelt.
Bei Druckgliedern wird die Mindestbewehrung nach 9.5.2 berücksichtigt.
fck Betonfestigkeit für Bemessung [MN/m²]
(B+)Stützenbemessung nach dem Verfahren mit Nennkrümmungen nach 5.8.8
Stab 1
Ort 1
Stab 1, x = 0,00 m (Stablänge 0,50 m)
Querschnitt 3: Polygon - C30/37-EN
Stahl 3; Bemessungsmodus: Standard
(B) fck=30
Querschnittswerte A [m²] ys [m] zs [m] Iy [m4] Iz [m4] Iyz[m4]
brutto: 0,250 0,250 0,250 0,0052 0,0052 0,0000
1. Ständige und vorüberg. Komb. (SK.1): Fd, Endzustand
Betonschnittgrößen
Satz Nx[kN] My[kNm] Mz[kNm]
Nx- : -218,00 139,51 0,00
Nx+ : -218,00 139,51 0,00
My- : -218,00 139,51 0,00
My+ : -218,00 139,51 0,00
Mz- : -218,00 139,51 0,00
Mz+ : -218,00 139,51 0,00
Lastfallkombinationen der maßgebenden Schnittkraftsätze
Satz Kombination
Nx- : 1*L3
Nx+ : 1*L3
My- : 1*L3
My+ : 1*L3
Mz- : 1*L3
Mz+ : 1*L3
1. Brandfall Kombination (BK.1): Fd, Endzustand
Betonschnittgrößen
Satz Nx[kN] My[kNm] Mz[kNm]
Nx- : -218,00 139,51 0,00
Nx+ : -218,00 139,51 0,00
My- : -218,00 139,51 0,00
My+ : -218,00 139,51 0,00
Mz- : -218,00 139,51 0,00
Mz+ : -218,00 139,51 0,00
Lastfallkombinationen der maßgebenden Schnittkraftsätze
Satz Kombination
Nx- : 1*L3
Nx+ : 1*L3
My- : 1*L3
My+ : 1*L3
Mz- : 1*L3
Mz+ : 1*L3
Nachweis der Längsbewehrung
Bewehrung Nx My Mz max Sc kc Ap' erf.As Situation
Lage Typ [kN] [kNm] [kNm] [MN/m²] [cm²] [cm²]
1 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
2 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
3 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
4 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
5 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
6 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
7 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
8 B+ -218,00 355,24 0,00 . . . 6,33 BK.1,Nx-
NACHWEIS FÜR BETONSTÜTZEN
Nachweis der Betonstützen nach dem Nennkrümmungsverfahren
Die berechnete erforderliche Bewehrung wird immer symmetrisch ermittelt, enthält
die vorgegebene Grundbewehrung sowie die Mindestbewehrung für Stützen nach
9.5.2 (2). Bei Stützen unter Drucknormalkraft wird die Mindestexzentrizität nach
6.1 (4) berücksichtigt.
Die maximale Bewehrung aller Nachweisorte in der Stütze wird gemäß 5.8.8.3 als
konstante Bewehrung über die gesamte Stütze angesetzt.
L0 Knicklänge der Stütze [m]
phi Endkriechzahl nach 3.1.4
c Vom Krümmungsverlauf abhängiger Beiwert nach 5.8.8.2 (4)
y,z Drehachse für Schlankheiten, Krümmungen und Stabmomente
Lambda vorh. Aus der Knicklänge ermittelte vorhandene Schlankheit
Lambda lim Grenzwert der Schlankheit nach 5.8.3.1 (1)
phi,eff Effektive Kriechzahl nach 5.8.4 (2)
Omega Mechanischer Bewehrungsgrad Omega = As*fyd/(Ac*fcd)
M01/M02 Momentenverhältnis der Stützenendmomente nach Theorie I.Ordnung
|M02| > |M01|
n Bezogene Normalkraft n = NEd/(Ac*fcd)
A,B,C Faktoren nach 5.8.3.1 (1)
Kr Krümmungsbeiwert in Abhängigk. von der Normalkraft nach 5.8.8.3 (3)
Kphi Krümmungsbeiwert zur Berücksicht. des Kriechens nach 5.8.8.3 (4)
1/r Krümmung nach 5.8.8.3 (1)
M1 Moment nach Theorie I. Ordnung [kNm]. Optional wird das äquivalente
Moment nach 5.8.8.2 (2) angesetzt, wenn keine Querbelastung
ermittelt wurde. In diesem Fall wird der Wert mit "+" markiert.
Mfi Moment aus Temperaturkrümmung bei unsymmetrischer Brandbeanspruchung
[kNm]
Mi Moment aus Stützenimperfektion nach 5.2 (7) [kNm]
M2 Nennmoment nach Theorie II. Ordnung nach 5.8.8.2 (2) [kNm]
Mmin Moment aus Mindestexzentrizität nach 6.1 (4) [kNm]
MEd Zu bemessendes Moment MEd = M1+Mi+M2 > Mmin [kNm]
As,tot Gesamtbewehrung am Nachweisort [cm²]
Ist die Bewehrung zur Einhaltung der Grenzschlankheit maßgebend,
wird dies mit '*' markiert.
Ergibt sich aus dem tatsächlichen Moment mehr Bewehrung als aus dem
äquivalenten Moment mit Zusatzmomenten, wird dies mit '!' markiert.
Stab 1
Ort 1 - Ort der maximalen Bewehrung in der Stütze
Stütze 1, Stab 1, x = 0,00 m (Stablänge 0,50 m, Stützenlänge 9,55 m)
Querschnitt 3: Polygon - C30/37-EN
phi=0,00; c=9,87;
Knicklängen: L0,y=19,10 m (=2*L, Bild 5.7b))
L0,z=0,00 m (Kein Knicken)
Querschnittswerte A [m²] ys [m] zs [m] Iy [m4] Iz [m4] Iyz[m4]
brutto: 0,250 0,250 0,250 0,0052 0,0052 0,0000
1. Ständige und vorüberg. Komb. (SK.1): Fd, Endzustand
Betonschnittgrößen
Satz Nx[kN] My[kNm] Mz[kNm]
Nx- : -218,00 139,51 0,00
Nx+ : -218,00 139,51 0,00
My- : -218,00 139,51 0,00
My+ : -218,00 139,51 0,00
Mz- : -218,00 139,51 0,00
Mz+ : -218,00 139,51 0,00
Lastfallkombinationen der maßgebenden Schnittkraftsätze
Satz Kombination
Nx- : 1*L3
Nx+ : 1*L3
My- : 1*L3
My+ : 1*L3
Mz- : 1*L3
Mz+ : 1*L3
1. Brandfall Kombination (BK.1): Fd, Endzustand
Betonschnittgrößen
Satz Nx[kN] My[kNm] Mz[kNm]
Nx- : -218,00 139,51 0,00
Nx+ : -218,00 139,51 0,00
My- : -218,00 139,51 0,00
My+ : -218,00 139,51 0,00
Mz- : -218,00 139,51 0,00
Mz+ : -218,00 139,51 0,00
Lastfallkombinationen der maßgebenden Schnittkraftsätze
Satz Kombination
Nx- : 1*L3
Nx+ : 1*L3
My- : 1*L3
My+ : 1*L3
Mz- : 1*L3
Mz+ : 1*L3
Nachweis nach dem Nennkrümmungsverfahren - Normaltemperatur
Maßgebender Schnittkraftsatz: SK.1,Nx-
Bestimmung der Grenzschlankheit
Lambda
phi,eff Omega M01/M02 A B C n vorh. lim
y: 0,00 0,18 0,44 0,70 1,17 1,26 0,04 132,33 > 98,54
z: Kein Knicken um die z-Achse gemäß Benutzereingabe.
Bestimmung der Zusatz- und Bemessungsmomente
M1 Mi Kr Kphi 1/r M2 MEd
[kNm] [kNm] [1/m] [kNm] [kNm]
y: 139,51 6,94 1,00 1,00 0,0113 91,18 237,63
z: 0,00 . . . . . 0,00
Bemessung
NEd MEdy MEdz As,tot
[kN] [kNm] [kNm] [cm²]
-218,00 237,63 0,00 21,01
Nachweis nach dem Nennkrümmungsverfahren - Brandfall (90 min)
Maßgebender Schnittkraftsatz: BK.1,Nx-
Bestimmung der Grenzschlankheit
Lambda
phi,eff Omega M01/M02 A B C n vorh. lim
y: 0,00 0,26 0,44 0,70 1,23 1,26 0,04 143,88 > 111,91
z: Kein Knicken um die z-Achse gemäß Benutzereingabe.
Bestimmung der Zusatz- und Bemessungsmomente
M1 Mfi Mi Kr Kphi 1/r M2 MEd
[kNm] [kNm] [kNm] [1/m] [kNm] [kNm]
y: 139,51 103,34 6,94 1,00 1,00 0,0131 105,44 355,24
z: 0,00 . . . . . . 0,00
Bemessung
NEd MEdy MEdz As,tot
[kN] [kNm] [kNm] [cm²]
-218,00 355,24 0,00 50,60
Aus der Bemessung ergibt sich für die Stütze nach 90 Minuten Brand eine erforderliche Gesamtlängsbewehrung von 50,6 cm². Dies liegt über der im Beispiel angesetzten Bewehrung von 48,26 cm² (Bewehrung: 8 ∅ 28 mm), mit der die vorgegebenen 90 Minuten Brand bei der nichtlinearen Berechnung knapp überschritten wurden.
In der Bemessung wird ein Gesamtmoment MEd,y = 355,24 kNm ermittelt, bestehend aus dem Moment nach Theorie I. Ordnung, dem Moment aus Temperaturkrümmung, dem Moment aus Imperfektion und dem Zusatzmoment nach Theorie II. Ordnung aus dem Nennkrümmungsverfahren. Verglichen dazu ergab sich bei der nichtlinearen Brandberechnung am Stützenfuß zum Zeitpunkt 90 Minuten ein Moment von 362,65 kNm.
