EN 1992-1-1 Bemessung > Nachweise in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit

Die Bemessung für Querkraft umfasst die Ermittlung der Querkraftbewehrung und den Nachweis der Betondruckstreben nach EN 1992‑1‑1, Kapitel 6.2. Es gelten folgende Besonderheiten:

•	Die Neigung der Querkraftbewehrung wird mit 90° angenommen.
•	Der Wert für cot Θ kann vom Benutzer innerhalb der national zugelassenen Grenzen der Gleichung (6.7N) frei gewählt werden. DIN EN 1992‑1‑1: In der Berechnung wird der eingegebene Wert für cot Θ auf den nach Gleichung (6.7aDE) zulässigen Bereich begrenzt (Verfahren mit beanspruchungsabhängiger Druckstrebenneigung), sofern im Querschnittsdialog nicht der Nachweis mit einem konstanten Wert gewählt wurde. Die tatsächlich wirksame Neigung der Betondruckstreben wird für jeden Nachweisort im Protokoll ausgegeben.
•	In der berechneten Bügelbewehrung ist die Mindestbewehrung nach Kapitel 9.2.2 (5) der Norm enthalten. Bei Flächen wird Mindestbewehrung gemäß Kapitel 6.2.1 (4) nur dann ermittelt, wenn Querkraftbewehrung rechnerisch erforderlich ist. Bei Stäben wird für die Richtung, für die M = Q = 0 ist, keine Mindestbewehrung berechnet.
•	Bei Stäben und Bemessungsobjekten wird die Schubbemessung getrennt für die Querkräfte Qy und Qz durchgeführt.
•	Platten- und Schalenelemente werden für die Querkraft qr = √(qx² + qy²) bemessen. Für die zugehörige Längskraft wird, je nachdem was ungünstig wirkt, die Hauptdruck- oder die Hauptzugkraft eingesetzt. DIN EN 1992‑1‑1: Falls gewählt, wird der Nachweis gemäß Kapitel 6.2.1 (10) getrennt für die Bewehrungsrichtungen x und y geführt. Für die zugehörige Längskraft wird dann die in Bewehrungsrichtung wirkende Normalkraft eingesetzt. Wenn Querkraftbewehrung erforderlich ist, wird diese aus beiden Richtungen addiert.
•	Es erfolgt keine Verminderung der Einwirkung auflagernaher Lasten nach Kapitel 6.2.1 (8) der Norm.
•	Bei Stäben und Bemessungsobjekten werden die maßgebenden Werte des Ersatzrechtecks unabhängig von der normalen Querschnittsgeometrie vom Anwender definiert. Die Beiwerte zur Berechnung des inneren Hebelarms z aus der Nutzbreite und Nutzhöhe sind ebenfalls vorzugeben. Bei Flächenelementen wird generell mit dem Hebelarm z = 0,9 d gerechnet.
•	DIN EN 1992‑1‑1: Der innere Hebelarm wird nach 6.2.3 (1) auf das Maximum aus z = d – cv,l – 30 mm und z = d – 2cv,l begrenztnzt. Dabei ist cv,l das Verlegemaß der Längsbewehrung in der Betondruckzone.
•	Bei Stabquerschnitten mit interner Vorspannung wird der Bemessungswert der Quertragfähigkeit VRd,max gemäß Kapitel 6.2.3 (6) mit dem Nennwert bw,nom der Querschnittsbreite ermittelt.
•	Die Notwendigkeit einer Querkraftbewehrung wird nach Kapitel 6.2.2 (1) der Norm untersucht. Die Besonderheiten der Absätze (2) bis (7) kommen dabei nicht zur Anwendung.
•	BS EN 1992‑1‑1: Die Schubfestigkeit von Betonen einer Betonfestigkeitsklasse größer C50/60 wird gemäß NA zu 3.1.2 (2)P auf den Wert der Klasse C50/60 begrenzt. Die Betondruckfestigkeit fcd nach Gl. (3.15) wird konservativ mit αcc = 0,85 ermittelt.
•	Bei Stahlbetonverbundquerschnitten wird die maßgebende Betonfestigkeit als Minimum der Teilquerschnitte angenommen.

Nachfolgend sind die verwendeten Formeln der EN 1992‑1‑1 wiedergegeben.

Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

VRd,c = [CRd,c · k · (100 ρl · fck)1/3 + k1 · σcp ] · bw · d

(6.2a)

mit mindestens

VRd,c = (vmin + k1 · σcp) · bw · d

(6.2b)

Für Leichtbeton gilt

VlRd,c = [ClRd,c · η1 · k · (100 ρl · flck)1/3 + k1 · σcp ] · bw · d ≥ ( η1 · vl,min + k1 · σcp ) · bw · d

(11.6.2)

Dabei ist

fck , flck

die charakteristische Betonfestigkeit [N/mm²].

k	= 1 + √(200 / d) ≤ 2,0 mit d in mm.

ρl	= Asl / (bw · d) ≤ 0,02.

Asl	die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens ( lbd + d ) über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird (siehe Bild 6.3).

bw	die kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Zugzone des Querschnitts [mm].

σcp	= NEd / Ac < 0,2 fcd [N/mm²].

NEd	die Normalkraft im Querschnitt infolge Lastbeanspruchung oder Vorspannung [N] (NEd > 0 für Druck). Der Einfluss von Zwang auf NEd darf vernachlässigt werden.

Ac	die Gesamtfläche des Betonquerschnitts [mm²].

VRd,c , VlRd,c der Bemessungswert für den Querkraftwiderstand [N].

η1	der Reduktionsfaktor für Leichtbeton nach Gl. (11.1).

Die empfohlenen Werte sind:

CRd,c

= 0,18 / γc für Normalbeton

ClRd,c

= 0,15 / γc für Leichtbeton

= 0,15

vmin	= 0,035 k3/2 · fck1/2 für Normalbeton

(6.3N)

vl,min

= 0,028 k3/2 · flck1/2 für Leichtbeton nach 11.6.1 (1)

DIN EN 1992‑1‑1:

CRd,c

= ClRd,c = 0,15 / γc

= 0,12

vmin	= (κ1 / γc) k3/2 · fck1/2

vl,min

= (κ1 / γc) k3/2 · flck1/2

mit

κ1	= 0,0525 für d < 600 mm = 0,0375 für d > 800 mm

Für 600 mm < d ≤ 800 mm darf interpoliert werden.

Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

Der Winkel θ zwischen den Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse ist zu begrenzen:

1 ≤ cot θ ≤ 2,5

(6.7N)

DIN EN 1992‑1‑1:

1,0 ≤ cot θ ≤ (1,2 + 1,4 σcp / fcd) / (1 – VRd,cc / VEd ) ≤ 3,0

(6.7aDE)

mit

VRd,cc = c · 0,48 · fck1/3 (1 – 1,2 σcp / fcd ) · bw · z

(6.7bDE)

Dabei ist

= 0,5

σcp	der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts mit σcp = NEd / Ac in N/mm².

NEd	der Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkungen (NEd > 0 als Längsdruckkraft).

Bei Leichtbeton ist der Druckstrebenwinkel nach Gl. (6.7aDE) auf cot θ = 2 zu begrenzen. Der Eingangswert VRd,cc aus Gl. (6.7bDE) ist mit η1 nach Gl. (11.1) zu multiplizieren.

ÖNORM B 1992‑1‑1:
0,6 ≤ tan θ ≤ 1,0	(3AT)
Wenn der Querschnitt überdrückt ist, dann darf θ im Bereich
0,4 ≤ tan θ ≤ 1,0	(4AT)
gewählt werden.

SS EN 1992‑1‑1:

Bei vorgespannten Bauteilen gilt nach Artikel 15 abweichend von Gl. (6.7N) die Bedingung 1,0 ≤ cot θ ≤ 3,0

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung rechtwinklig zur Bauteilachse ist der Querkraftwiderstand VRd der kleinere Wert aus

VRd,s = (Asw / s) · z · fywd · cot θ

(6.8)

und

VRd,max = αcw · bw · z · ν1 · fcd / (cot θ + tan θ)

(6.9)

Dabei ist

Asw	die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung.

s	der Abstand der Bügel untereinander.

fywd	der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung.

ν1	ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen.

αcw	ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes im Druckgurt.

Die empfohlenen Werte sind:

ν1	= ν
	mit
	ν = 0,6 (1 – fck / 250)	für Normalbeton ( fck in N/mm²)	(6.6N)
	ν = 0,5 η1 (1 – fck / 250)	für Leichtbeton ( flck in N/mm²)	(11.6.6N)

αcw	= 1	für nicht vorgespannte Bauteile
	= (1 + σcp / fcd )	für 0 < σcp ≤ 0,25 fcd	(6.11aN)
	= 1,25	für 0,25 fcd < σcp ≤ 0,5 fcd	(6.11bN)
	= 2,5 (1 – σcp / fcd)	für 0,5 fcd < σcp ≤ 1,0 fcd	(6.11cN)

Dabei ist

σcp	die mittlere Druckspannung im Beton, positiv bezeichnet, infolge des Bemessungswertes der Normalkraft.

Die höchstens wirksame Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung Asw,max für cot θ = 1 ist gegeben durch:

(Asw,max · fywd ) / (bw · s) ≤ ½ αcw · ν1 · fcd

(6.12)

Die zusätzliche Zugkraft in der Längsbewehrung infolge Querkraft ergibt sich nach Gl. (6.18) zu

ΔFtd = 0,5·VEd·(cot Θ – cot α ).

(6.18)

DIN EN 1992‑1‑1:

ν1	= η1 · 0,75 · min(1,0; 1,1 – fck / 500)
η1	= 1,0 für Normalbeton, nach Gl. (11.1) für Leichtbeton.
αcw	= 1,0

Gleichung (6.12) wird nicht angewendet.

BS EN 1992‑1‑1:

ν1	= ν · (1 – 0,5 cos α )

Die weiteren Regeln des NDP zu 6.2.3 (3) werden nicht berücksichtigt.

Querkraftbewehrung (Standardbemessung)

Der Querkraftbewehrungsgrad ergibt sich aus Gleichung (9.4):

ρw = Asw / (s · bw · sin α )

(9.4)

Dabei ist

ρw	der Bewehrungsgrad der Querkraftbewehrung. Dieser hat in der Regel nicht kleiner als ρw,min zu sein.

Asw	die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Länge s.

s	der Abstand der Querkraftbewehrung gemessen entlang der Bauteilachse.

bw	die Stegbreite des Bauteils.

α	der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der Bauteilachse.

Der empfohlene Wert für die Mindestbewehrung ist:

ρw,min = 0,08 √fck / fyk

(9.5N)

DIN EN 1992‑1‑1:

ρw,min = 0,16 fctm / fyk

(9.5aDE)

Bei Platten kann der Wert gemäß Kapitel 9.3.2 (2) zwischen dem Null- und Einfachen des vorgenannten Wertes variieren.

Für gegliederte Querschnitte mit vorgespanntem Zuggurt gilt:

ρw,min = 0,256 fctm / fyk

(9.5bDE)

ÖNORM B 1992‑1‑1:

ρw,min = 0,15 fctm / fyd

(24AT)

Bei Platten mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung ist mindestens der 0,6-fache Wert der Mindestquerkraftbewehrung von Balken vorzusehen.

Querkraftbemessung für Kreis- und Ringquerschnitte nach Bender et al.

Bei kreis- und ringförmigen Querschnitten mit ringförmigen Einzelbügeln oder Wendeln erfolgt die Querkraftbemessung optional nach Bender et al. (2010) für die resultierende Querkraft Qr = √(Qy² + Qz²).

Der Deutsche Normenausschuss Bauwesen (NABau) empfiehlt hierfür in seiner Auslegung vom 1. Juni 2012 zu Kapitel 10.3 der DIN 1045‑1:2008, für die wirksame Breite bw den kleineren Wert der Querschnittsbreite am Schwerpunkt der Stahlzugkräfte und der Betondruckkräfte zu verwenden (s. nachfolgende Abbildung). Die Größen für die Breite bw, die Nutzhöhe d und den inneren Hebelarm z werden im Querschnittsdialog festgelegt.

Definition der wirksamen Breite bw gemäß NABau (2012) [Abb. aus: Bender et al. (2006), S. 87]

Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung wird nach Bender et al. (2006), Gl. (1), der Widerstand VRd,ct entsprechend DIN 1045‑1:2008, Gl. (70), angegeben. Programmseitig werden deshalb sinngemäß die oben angegebenen Gleichungen (6.2a), (6.2b) und (11.6.2) der EN 1992‑1‑1 mit dem gewählten Wert für bw verwendet.

Für Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt die Bemessung nach Bender et al. (2010):

VRd,sy = αk · Asw / sw · fyd · z · cot Θ · sin α	(10)
VRd,max = αk · bw · z · αc · fcd · cot Θ / [(cot Θ + cot α)² + 1]	(11)

Dabei ist

αk	ein Wirksamkeitsfaktor, der nach Bender et al. (2010), S. 422, beanspruchungsabhängig ist (0,715 ≤ αk ≤ 0,785) und als Mittelwert zu αk = 0,75 angenommen werden kann.

Asw	die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Länge sw.

sw	der Abstand der Querkraftbewehrung gemessen entlang der Bauteilachse.

bw	die wirksame Querschnittsbreite.

z	der Hebelarm der inneren Kräfte.

Θ	die Neigung der Betondruckstreben.

α	der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse (Wendelneigung).

fyd	der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung.

fcd	der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit.

αc	ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes im Druckgurt.

Der von Bender (2010) diskutierte additive Betontraganteil für Querschnitte mit Querkraftbewehrung wird nicht genutzt.

Die zusätzliche Zugkraft in der Längsbewehrung infolge Querkraft Qr wird nach Gl. (6.18) der Norm ermittelt. Bei gleichzeitiger Beanspruchung durch Querkraft und Torsion erfolgt die Torsionsbemessung nach Norm für senkrechte Bügel unter Annahme eines quadratischen Torsionskastens.

Die Bemessungsergebnisse werden getrennt von den Ergebnissen der Standardbemessung gespeichert.