Bemessung für Querkraft

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Bemessung für Querkraft

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Die Bemessung für Querkraft umfasst die Ermittlung der Querkraftbewehrung und den Nach­weis der Beton­druck­streben nach EN 1992‑2, Kapitel 6.2. Es gelten folgende Be­sonder­heiten:

•

Die Neigung der Querkraftbewehrung wird mit 90° angenommen.

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Der Wert für cot Θ kann vom Benutzer innerhalb der national zugelassenen Grenzen der Gleichung (6.7N) in EN 1992‑1‑1 frei gewählt werden.

DIN EN 1992‑2:

In der Berechnung wird der eingegebene Wert für cot Θ auf den nach Gleichung (6.107aDE) zulässigen Be­reich begrenzt (Verfahren mit bean­spruchungs­ab­hängiger Druck­streben­neigung), sofern im Querschnitts­dialog nicht der Nachweis mit einem konstanten Wert gewählt wurde. Die tat­säch­lich wirksame Neigung der Beton­druck­streben wird für jeden Nach­weis­ort im Protokoll aus­ge­geben.

•

In der berechneten Bügelbewehrung ist die Mindest­bewehrung nach EN 1992‑1‑1, Kapitel 9.2.2 (5) enthalten. Bei Flächen wird Mindest­bewehrung gemäß Kapitel 6.2.1 (4) nur dann ermittelt, wenn Quer­kraft­bewehrung rechnerisch erforderlich ist. Bei Stäben wird für die Richtung, für die M = Q = 0 ist, keine Mindestbewehrung berechnet.

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Bei Stäben und Bemes­sungs­objekten wird die Schub­be­mes­sung ge­trennt für die Querkräfte Qy und Qz durchgeführt.

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Platten- und Schalenelemente werden für die Querkraft qr = √(qx² + qy²) bemessen. Für die zugehörige Längs­kraft wird, je nachdem was ungünstig wirkt, die Haupt­druck- oder die Hauptzugkraft eingesetzt.

DIN EN 1992‑2:

Falls gewählt, wird der Nachweis gemäß Kapitel 6.2.1 (10) getrennt für die Bewehrungsrichtungen x und y geführt. Für die zugehörige Längs­kraft wird dann die in Bewehrungsrichtung wirkende Normalkraft eingesetzt. Wenn Querkraftbewehrung erforderlich ist, wird diese aus beiden Richtungen addiert.

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Es erfolgt keine Verminderung der Einwirkung auflagernaher Lasten nach EN 1992‑1‑1, Kapitel 6.2.1 (8).

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Bei Stäben und Bemes­sungs­objekten werden die maßgebenden Werte des Ersatz­recht­ecks unabhängig von der normalen Quer­schnitts­geometrie vom Anwender definiert. Die Bei­werte zur Berechnung des inneren Hebel­arms z aus der Nutz­breite und Nutz­höhe sind ebenfalls vor­zu­ge­ben. Bei Flächen­elementen wird generell mit dem Hebelarm z = 0,9 d gerechnet.

DIN EN 1992‑2:

Alternativ kann der innere Hebelarm aus der Biegebemessung benutzt werden. Der Hebelarm wird nach DIN EN 1992‑1‑1, Kapitel 6.2.3 (1), auf das Maximum aus z = d – cv,l – 30 mm und z = d – 2cv,l begrenzt. Dabei ist cv,l das Verlegemaß der Längsbewehrung in der Betondruckzone.

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Bei Stabquer­schnitten mit interner Vorspannung wird der Bemessungs­wert der Quer­trag­fä­hig­keit VRd,max gemäß EN 1992‑1‑1, Kapitel 6.2.3 (6) mit dem Nennwert bw,nom der Quer­schnitts­breite ermittelt.

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Die Notwendigkeit einer Quer­kraft­bewehrung wird nach EN 1992‑1‑1, Kapitel 6.2.2 (1) unter­sucht. Die Besonderheiten der Absätze (2) bis (7) kommen dabei nicht zur Anwendung.

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Die Interaktion von Querkraft und Querbiegung nach EN 1992‑2, Kapitel 6.2.106, in den Stegen von Hohlkastenquerschnitten wird nicht geprüft. Gleiches gilt für den Sonderfall gerader Spannglieder nach Bild 6.101.

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BS EN 1992‑2:

Die Schubfestigkeit von Betonen einer Betonfestigkeitsklasse größer C50/60 wird gemäß NA zu 3.1.2 (102)P auf den Wert der Klasse C50/60 begrenzt. Die Betondruckfestigkeit fcd nach Gl. (3.15) wird konservativ mit αcc = 0,85 ermittelt.

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Bei Stahlbetonverbundquerschnitten wird die maßgebende Betonfestigkeit als Mini­mum der Teil­quer­schnit­te an­ge­nom­men.

 

Nachfolgend sind die verwendeten Formeln der Norm wiedergegeben.

Bauteile ohne rechnerisch erforderliche Querkraftbewehrung

VRd,c = [CRd,c · k · (100 ρl · fck)1/3 + k1 · σcp ] · bw · d

(6.2a)

mit mindestens

VRd,c = (vmin + k1 · σcp) · bw · d

(6.2b)

Für Leichtbeton gilt

VlRd,c = [ClRd,c · η1 · k · (100 ρl · flck)1/3 + k1 · σcp ] · bw · d ≥ ( η1 · vl,min + k1 · σcp ) · bw · d

(11.6.2)

Dabei ist

fck , flck die charakteristische Betonfestigkeit [N/mm²].
k = 1 + √(200 / d) ≤ 2,0 mit d in mm.
ρl = Asl / (bw · d) ≤ 0,02.
Asl die Fläche der Zugbewehrung, die mindestens (lbd + d) über den betrachteten Quer­schnitt hinaus ge­führt wird (siehe Bild 6.3).
bw die kleinste Quer­schnitts­breite inner­halb der Zugzone des Quer­schnitts [mm].
σcp = NEd / Ac < 0,2 fcd [N/mm²].
NEd die Normalkraft im Querschnitt infolge Last­bean­spruch­ung oder Vorspannung [N] (NEd > 0 für Druck). Der Einfluss von Zwang auf NEd darf ver­nach­lässigt werden.
Ac die Gesamtfläche des Beton­quer­schnitts [mm²].

VRd,c, VlRd,c  der Bemessungswert für den Querkraftwiderstand [N].

η1 der Reduktionsfaktor für Leichtbeton nach Gl. (11.1).

 

Die empfohlenen Werte sind:

CRd,c = 0,18 / γc für Normalbeton
ClRd,c = 0,15 / γc für Leichtbeton
k1 = 0,15
vmin = 0,035 k3/2 · fck1/2 für Normalbeton

(6.3N)
vl,min = 0,028 k3/2 · flck1/2 für Leichtbeton nach 11.6.1 (1)

 

DIN EN 1992‑1‑1:

CRd,c = ClRd,c = 0,15 / γc
k1 = 0,12
vmin = (κ1 / γc) k3/2 · fck1/2
vl,min = (κ1 / γc) k3/2 · flck1/2

mit

κ1 = 0,0525 für d < 600 mm
= 0,0375 für d > 800 mm

Für 600 mm < d ≤ 800 mm darf interpoliert werden.

 

Bauteile mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung

Der Winkel θ zwischen den Betondruckstreben und der rechtwinklig zur Querkraft verlaufenden Bauteilachse ist zu begrenzen:

1 ≤ cot θ ≤ 2,5

(6.7N)

DIN EN 1992‑2:

 

1,0 ≤ cot θ ≤ (1,2 + 1,4 σcp / fcd) / (1 – VRd,cc / VEd ) ≤ 1,75

(6.107aDE)

mit

 

VRd,cc = c · 0,48 · fck1/3 (1 – 1,2 σcp / fcd ) · bw · z

(6.7bDE)

Dabei ist

c = 0,5
σcp der Bemessungswert der Betonlängsspannung in Höhe des Schwerpunkts des Querschnitts mit
σcp = NEd / Ac in N/mm².
NEd der Bemessungswert der Längskraft im Querschnitt infolge äußerer Einwirkungen
(NEd > 0 als Längsdruckkraft).

Bei Leichtbeton ist der Eingangswert VRd,cc aus Gl. (6.7bDE) mit η1 nach Gl. (11.1) zu multiplizieren.

Der Höchstwert von 1,75 in Gl. (6.107aDE) kann durch Benutzer­eingabe wie in DIN EN 1992‑1‑1 bis auf 3 erhöht werden.

 

ÖNORM B 1992‑1‑1:

 

0,6 ≤ tan θ ≤ 1,0

(3AT)

Wenn der Querschnitt überdrückt ist, dann darf θ im Bereich

 

0,4 ≤ tan θ ≤ 1,0

(4AT)

gewählt werden.

 

 

SS EN 1992‑1‑1:

Bei vorgespannten Bauteilen gilt nach Artikel 15 abweichend von Gl. (6.7N) die Bedingung 1,0 ≤ cot θ ≤ 3,0

 

Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung rechtwinklig zur Bauteilachse ist der Querkraftwiderstand VRd der kleinere Wert aus

VRd,s = (Asw / s) · z · fywd · cot θ

(6.8)

und

VRd,max = αcw · bw · z · ν1 · fcd / (cot θ + tan θ)

(6.9)

Dabei ist

Asw die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung.
s der Abstand der Bügel untereinander.
fywd der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung.
ν1 ein Abminderungsbeiwert für die Betonfestigkeit bei Schubrissen.
αcw ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes im Druckgurt.

 

Die empfohlenen Werte sind:

ν1

= ν

 

mit

 

ν = 0,6 (1 – fck / 250)

(fck in N/mm²)

(6.6N)

αcw

= 1

für nicht vorgespannte Bauteile

 

= (1 + σcp / fcd )

für 0 < σcp ≤ 0,25 fcd

(6.11aN)

= 1,25

für 0,25 fcd < σcp ≤ 0,5 fcd

(6.11bN)

= 2,5 (1 – σcp / fcd)

für 0,5 fcd < σcp ≤ 1,0 fcd

(6.11cN)

Dabei ist

σcp die mittlere Druckspannung im Beton, positiv bezeichnet, infolge des Bemessungswertes der Normalkraft.

 

Die höchstens wirksame Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung Asw,max für cot θ = 1 ist gegeben durch:

(Asw,max · fywd ) / (bw · s) ≤ ½ αcw · ν1 · fcd

(6.12)

 

Die zusätzliche Zugkraft in der Längsbewehrung infolge Querkraft ergibt sich nach Gl. (6.18) zu

ΔFtd = 0,5·VEd·(cot Θ – cot α ).

(6.18)

DIN EN 1992‑2:

ν1

= η1 · 0,75 für Beton bis C50/60‑EN‑D
= η1 · 0,75 · min(1,0; 1,1 – fck / 500) ab C55/67‑EN‑D gem. DIN EN 1992‑1‑1, NDP zu 6.2.3 (3)

η1

= 1,0 für Normalbeton, nach Gl. (11.1) für Leichtbeton.

αcw

= 1,0

Gleichung (6.12) wird nicht angewendet.

 

BS EN 1992‑2:

ν1

= ν · (1 – 0,5 cos α )

Die weiteren Regeln des NDP zu 6.2.3 (3) werden nicht berücksichtigt.

 

Querkraftbewehrung (Standardbemessung)

Der Querkraftbewehrungsgrad ergibt sich aus Gleichung (9.4):

ρw = Asw / (s · bw · sin α )

(9.4)

Dabei ist

ρw der Bewehrungsgrad der Querkraftbewehrung. Dieser hat in der Regel nicht kleiner als ρw,min zu sein.
Asw die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Länge s.
s der Abstand der Querkraftbewehrung gemessen entlang der Bauteilachse.
bw die Stegbreite des Bauteils.
α der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und der Bauteilachse.

 

Der empfohlene Wert für die Mindestbewehrung ist:

ρw,min = 0,08 √fck / fyk

(9.5N)

DIN EN 1992‑1‑1:

ρw,min = 0,16 fctm / fyk

(9.5aDE)

Bei Platten kann der Wert gemäß Kapitel 9.3.2 (2) zwischen dem Null- und Einfachen des vorgenannten Wertes variieren.

 

Für gegliederte Querschnitte mit vorgespanntem Zuggurt gilt:

ρw,min = 0,256 fctm / fyk

(9.5bDE)

 

OENORM B 1992‑1‑1:

ρw,min = 0,15 fctm / fyd

(24AT)

 

Bei Platten mit rechnerisch erforderlicher Querkraftbewehrung ist mindestens der 0,6‑fache Wert der Min­dest­quer­kraft­be­weh­rung von Balken vorzusehen.

 

 

Querkraftbemessung für Kreis- und Ringquerschnitte nach Bender et al.

Bei kreis- und ringförmigen Querschnitten mit ringförmigen Einzelbügeln oder Wendeln erfolgt die Querkraftbemessung optional nach Bender et al. (2010) für die resultierende Querkraft Qr = √(Qy² + Qz² ).

Der Deutsche Normenausschuss Bauwesen (NABau) empfiehlt hierfür in seiner Auslegung vom 1. Juni 2012 zu Kapitel 10.3 der DIN 1045‑1:2008, für die wirksame Breite bw den kleineren Wert der Querschnittsbreite am Schwerpunkt der Stahlzugkräfte und der Beton­druck­kräfte zu verwenden (s. nachfolgende Abbildung). Die Größen für die Breite bw, die Nutzhöhe d und den inneren Hebelarm z werden im Querschnittsdialog festgelegt.

Definition der wirksamen Breite bw gemäß NABau (2012) [Abb. aus: Bender et al. (2006), S. 87]

Definition der wirksamen Breite bw gemäß NABau (2012) [Abb. aus: Bender et al. (2006), S. 87]

Für Bauteile ohne Querkraftbewehrung wird nach Bender et al. (2006), Gl. (1), der Widerstand VRd,ct entsprechend DIN 1045‑1:2008, Gl. (70), angegeben. Programmseitig werden deshalb sinngemäß die oben angegebenen Gleichungen (6.2a), (6.2b) und (11.6.2) der EN 1992‑1‑1 mit dem gewählten Wert für bw verwendet.

Für Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt die Bemessung nach Bender et al. (2010):

VRd,sy = αk · Asw / sw · fyd · z · cot Θ · sin α

(10)

VRd,max = αk · bw · z · αc · fcd · cot Θ / [(cot Θ + cot α )² + 1]

(11)

Dabei ist

αk ein Wirksamkeitsfaktor, der nach Bender et al. (2010), S. 422, beanspruchungsabhängig ist (0,715 ≤ αk ≤ 0,785) und als Mittelwert zu αk = 0,75 angenommen werden kann.
Asw die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Länge sw.
sw der Abstand der Querkraftbewehrung gemessen entlang der Bauteilachse.
bw die wirksame Querschnittsbreite.
zder Hebelarm der inneren Kräfte.
Θ die Neigung der Betondruckstreben.
α der Winkel zwischen Querkraftbewehrung und Bauteilachse (Wendelneigung).
fyd der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung.
fcd der Bemessungswert der Betondruckfestigkeit.
αc ein Beiwert zur Berücksichtigung des Spannungszustandes im Druckgurt.

 

Der von Bender (2010) diskutierte additive Betontraganteil für Querschnitte mit Querkraftbewehrung wird nicht genutzt.

 

Die zusätzliche Zugkraft in der Längsbewehrung infolge Querkraft Qr wird nach Gl. (6.18) der Norm ermittelt. Bei gleichzeitiger Beanspruchung durch Querkraft und Torsion erfolgt die Torsionsbemessung nach Norm für senk­rechte Bügel unter Annahme eines quadratischen Torsionskastens.

 

Die Bemessungsergebnisse werden getrennt von den Ergebnissen der Standardbemessung gespeichert.