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Der Nachweis der Tragsicherheit stabilitätsgefährdeter Stabwerke kann nach EN 1993‑1‑1, Abschnitt 5.2.2 (7b) am Einzelbauteil erfolgen. Im Programm wird der Nachweis gegen Biegeknicken und Biegedrillknicken gemäß Kapitel 6.3 am gabelgelagerten Ersatzstab durchgeführt. Die Stabendschnittgrößen sind aus der Berechnung des Gesamttragwerks unter Berücksichtigung von Theorie 2. Ordnung und globaler Imperfektionen zu ermitteln und auf den Ersatzstab aufzubringen. Als Knicklänge des Einzelbauteils darf die Systemlänge angesetzt werden.
Für den Nachweis gegen Biegeknicken und Biegedrillknicken am Ersatzstab gelten die nachfolgenden Voraussetzungen:
| • | Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt nach der Elastizitätstheorie. |
| • | Der Ersatzstab wird als gerade angenommen. |
| • | Querschnitt und Material sind über die Stablänge konstant. |
| • | Die Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber den übrigen Abmessungen. |
| • | Die mathematische Krümmung wird linearisiert. |
| • | Der Einfluss der Schubverformungen auf die Schnittgrößen bleibt unberücksichtigt. |
| • | Die Belastung wird langsam auf ihren Endwert gesteigert und erfährt durch die Systemverformung keine Richtungsabweichung. |
| • | Die Einwirkungen in z‑Richtung greifen im Abstand zp vom Schubmittelpunkt an. |
| • | Die Einwirkungen in y‑Richtung greifen im Schubmittelpunkt an. |
| • | Der Ersatzstab ist beidseitig gabelgelagert. |
| • | Blechbeulen wird nicht erfasst. |
| • | Torsionseinwirkungen werden nicht erfasst. |
Der Nachweis gegen Biegedrillknicken kann für I- , U- und benutzerdefinierte Stahlprofile durchgeführt werden, für andere Querschnitte wird nur der Nachweis gegen Biegeknicken gemäß Kapitel 6.3.1 geführt.
Zunächst wird für jeden Nachweisort mit den entsprechenden Schnittgrößen eine Querschnittsklassifizierung nach Kapitel 5.5 durchgeführt. Abhängig von der Querschnittsklasse werden nach Tabelle 6.7 die aufnehmbaren Schnittgrößen ermittelt.
Bei Querschnitten der Klassen 1 und 2 erfolgt die Ermittlung der plastischen Schnittgrößen durch Integration der Spannungen am Querschnittspolygon, wie oben beschrieben.
Bei Querschnittsklasse 4 werden die Querschnittswerte mit der wirksamen Fläche der druckbeanspruchten Querschnittsteile ermittelt. Kommt es dabei zu einer Verschiebung der Hauptachsen des wirksamen Querschnitts gegenüber dem Bruttoquerschnitt, werden zudem die daraus resultierenden Zusatzmomente (ΔMy,Ed, ΔMz,Ed) ermittelt.
Ncr,y und Ncr,z sind die idealen Verzweigungslasten für Knicken um die y- bzw. z‑Achse. Diese werden im Programm nach folgenden Formeln berechnet:
\begin{align*}
N_\mathrm{cr,y} =
\frac{\pi^2\cdot E\cdot I_\mathrm{y}}{L_\mathrm{cr,y}^2}
\end{align*}
\begin{align*}
N_\mathrm{cr,z} =
\frac{\pi^2\cdot E\cdot I_\mathrm{z}}{L_\mathrm{cr,z}^2}
\end{align*}
Das ideale Biegedrillknickmoment Mcr lässt sich z.B. nach Petersen (1980) mit folgender Gleichung ermitteln:
\begin{align*}
M_\mathrm{Ki,y} =
\zeta\cdot N_\mathrm{Ki,z}\cdot
\left({\sqrt{
c^2 +0,25\cdot z_\mathrm{P}^2
}+ 0,5\cdot z_\mathrm{p}}\right)
\end{align*}
Diese Formel ist nur für doppeltsymmetrische I‑Profile anwendbar. Zusätzlich gestaltet sich bei allgemeinerem Momentenverlauf die Bestimmung des Momentenbeiwertes ζ recht aufwendig. Bei einfachsymmetrischen Profilen ist eine Ermittlung von Mcr in der o.a. Form nicht mehr möglich.
Um bei Bedarf beliebige einfachsymmetrische Profile unter allgemeiner Beanspruchung berechnen zu können, wurde im vorliegenden Programmodul eine Methode zur direkten Ermittlung von Mcr nach Martin (1996) implementiert.
Die Lösung erfolgt durch Variation des elastischen Potentials ∏ unter Vernachlässigung der Terme aus der rechnerischen Durchbiegung w. Für die unbekannten Funktionen v und φ wird ein mehrgliedriger Reihenansatz gemacht, der die Randbedingungen erfüllt.
\begin{align*}
\Pi =\frac{1}{2}\int_0^L\!\!\left\{{
\!\left[{GI_\mathrm{x}\!+\!\left({r_\mathrm{y}\!-\!2 z_\mathrm{m}}\right)M_\mathrm{y}(x)\;\eta_\mathrm{cr}}\right]
\!\left({\frac{\partial\varphi}{\partial x}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!EI_\mathrm{w}\!\left({\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!EI_\mathrm{z}\!\left({\frac{\partial^{2}\nu}{\partial x^{2}}}\right)^{\!\!2}
\!\!\!+\!2M_\mathrm{y}(x)\eta_\mathrm{cr}\!\left({\frac{\partial^{2}\nu}{\partial x^{2}}}\right)\varphi
\!+\!q\;\eta_\mathrm{cr}\;z_\mathrm{p}\varphi^2\!}\right\}\!dx
\end{align*}
Der geometrisch nichtlineare Anteil aus Einwirkungen in z‑Richtung wird durch eine Gleichlast qz erfasst. Diese wird so gewählt, dass das gleiche maximale Feldmoment erzeugt wird, wie durch die gegebene Einwirkung.
Das hieraus resultierende Eigenwertproblem liefert den kleinsten positiven Verzweigungslastfaktor ηcr und damit das gesuchte Biegedrillknickmoment Mcr. Dieses wird für jede Nachweisstelle wie folgt berechnet.
\begin{align*}
M_\mathrm{cr} =
\eta_\mathrm{cr}\cdot M_\mathrm{y,d}
\end{align*}
Das beschriebene Verfahren bietet den Vorteil, dass der Benutzer keine Angaben zum Momentenbeiwert ζ machen muss.