Schnittgrößen nach Theorie 2. Ordnung, Nachweisvorgaben, Einwirkungen, Nachweise, Ausnutzung, Ausführliches Protokoll, Begrenzung der Verformung
Am unten dargestellten Hallenrahmen werden eine Stabwerksanalyse sowie ein Stabilitätsnachweis nach Theorie 2. Ordnung durchgeführt. Der Nachweis der Querschnittstragfähigkeit erfolgt plastisch für alle Querschnitte der Klassen 1 und 2, da bei einem elastischen Spannungsnachweis Überschreitungen auftreten.
Statisches System und Abmessungen
Materialkennwerte
Nr. Material- E-Modul alpha.t gamma kbx-a kbx-e kbz-a kbz-e bx bz
Art [MN/m²] [1/K] [kN/m³] [MN/m³] [m]
-------------------------------------------------------------------------------------------
1 S235-EN 210000 1,200e-05 78,500 0 0 0 0 1,00 1,00
2 S235-EN 210000 1,200e-05 78,500 0 0 0 0 1,00 1,00
Querschnittswerte
Nr. 1 HEB 500
A = 2,390e-02 [m²], Iy = 1,072e-03 [m4]
Nr. 2 HEA 550
A = 2,120e-02 [m²], Iy = 1,119e-03 [m4]
Für die Stabilitätsnachweise nach Theorie 2. Ordnung wurden entsprechend den Kombinationsinformationen zu den jeweiligen Schnittgrößen Lastgruppen zusammengestellt. Aus einem so erzeugten Lastfall 11 unter Berücksichtigung einer Vorverformung von l/200 nach rechts resultieren beispielhaft die folgenden Schnittgrößenverläufe:
Lastfall 11, Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen Nx
Lastfall 11, Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen Qz
Lastfall 11, Th. 2. Ordnung, Schnittgrößen My
Zur Durchführung der Nachweise sind die Einwirkungen zuzuordnen, wie sie im nachfolgenden Protokoll abgedruckt sind. Das Nachweisprogramm führt die erforderlichen Schnittgrößenkombinationen durch und weist die Querschnittstragfähigkeit nach.
Nachweise nach EN 1993‑1‑1:2005/A1:2014
Gemäß EN 1993‑1‑1, Kapitel 6.2.1 wird für die Klassen 1 und 2 die plastische,
für Klasse 3 die elastische Querschnittstragfähigkeit nachgewiesen.
Für Querschnitte der Klasse 4 erfolgt der Nachweis mit effektiven
Querschnittswerten gemäß EN 1993-1-5, Kapitel 4.3.
Die Einwirkungen werden nach EN 1990, Gl. (6.10), mit Teilsicherheits- und
Kombinationsbeiwerten nach EN 1990:2021 kombiniert.
Der Nachweis erfolgt für alle möglichen Kombinationen der Einwirkungen.
Bezeichnungen im Ausdruck
Sigma.x, Sigma.v: Längsspannungen, Vergleichsspannungen gemäß Gl. (6.1).
Tau.xy, Tau.xz : Schubspannungen aus Querkraft Qz.
A : Querschnittsfläche.
Iy, Iz, Iyz : Trägheitsmomente.
Aqz : Schubfläche für die Abtragung von Qz.
Wqz : Widerstandsgröße der ext. Schubspannung aus Qz.
y, z : Ort im Querschnittspolygon [m].
Spannungsermittlung
Die Längs- und Schubspannungen werden für polygonal berandete, homogene
Querschnitte infolge Längskraft, Biegemoment und Querkraft berechnet.
Die Ermittlung der Schubkenngrößen erfolgt nach der Boundary-Element-Methode.
Die Berechnungspunkte für alle Spannungen sind Randpunkte des Querschnitts.
Bei folgenden Querschnitten werden die Schubspannungen aus Querkraft
über die Querschnittsbreite gemittelt.
Querschnitt Querschnitt Querschnitt
1 HEB 500 2 HEA 550 -
Querschnittsklassifizierung
Die Klassifizierung erfolgt für Listenprofile und Parameterquerschnitte nach
EN 1993‑1‑1, Tab. 5.2. T-Profile werden wie einseitig gestützte Flansche behandelt.
Benutzerdefinierte Polygonquerschnitte werden generell in Klasse 3 eingestuft.
Plastische Querschnittstragfähigkeit
Bei doppelt symmetrischen I- und H-Profilen mit konstanter Flanschdicke sowie
bei rechteckigen Kastenquerschnitten erfolgt die Berechnung der plastischen
Tragfähigkeit nach EN 1993‑1‑1, Kapitel 6.2.3 bis 6.2.10. Falls nicht bereits
eine einzelne Einwirkung die plastische Tragfähigkeit überschreitet, wird die
Interaktion der Schnittgrößen untersucht. Dabei wird gemäß Kapitel 6.2.10 (2)
die Beanspruchbarkeit nicht abgemindert, wenn die Querkrafteinwirkung die
Hälfte der plastischen Querkrafttragfähigkeit nicht überschreitet. Der Beiwert
eta nach Kapitel 6.2.6 (3) wird zu 1 angenommen.
Für alle anderen Profile werden die plastischen Grenzschnittgrößen durch
Integration der Spannungen und Gleichgewichtsiteration am polygonal berandeten
Querschnitt ermittelt. Dabei wird die Interaktion aller Schnittgrößen berück-
sichtigt und die Ausnahme für geringe Querkrafteinwirkungen nach EN 1993‑1‑1,
Kapitel 6.2.10 (2), nicht genutzt.
Zur Vereinfachung wird bei der Integration von einer in der zugehörigen
Schubfläche konstanten Schubspannung Tau=Qz/Aqz ausgegangen.
Die Ermittlung der Schubkenngrößen erfolgt nach der Boundary-
Element-Methode am Querschnittsrand.
Als Fließbedingung gilt die Huber-v. Mises-Bedingung nach Gl. (6.1).
Teilsicherheitsbeiwerte für Baustahl
gamma.M0
Ständige und vorüberg. Komb. 1,00
Außergew. Kombination 1,00
Besondere Kombination 1,00
Charakteristische Materialkennwerte
Streckgrenzen für Baustahl nach EN 1993‑1‑1, Tab. 3.1, für t <= 40 mm [MN/m²].
Grenzspannungen gemäß Gl. (6.19) und Gl. (6.42).
Ständige K. Außergew. K. Besondere K.
Material fyk Sigma.Rd Tau.Rd Sigma.Rd Tau.Rd Sigma.Rk Tau.Rk
S235-EN 235 235,00 135,68 235,00 135,68 235,00 135,68
Querschnittswerte
Querschnitt Material A[mm²] Aqz[mm²] Iy[m4] Iz[m4] Iyz[m4]
1 HEB 500 S235-EN 23900 5997 1,0720e-03 1,2620e-04 0,0000e+00
2 HEA 550 S235-EN 21200 5776 1,1190e-03 1,0820e-04 0,0000e+00
Standard Bemessungsgruppe
G - Eigenlast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,35 / 1
Lastfälle
---------
1 Eigenlast
QN - Nutzlast, Verkehrslast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Hochbauten
Fahrzeugverkehr - Kategorie G: Fahrzeuggewicht über 30 kN bis zu 160 kN
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,7 / 0,5 / 0,3
Lastfälle 1. Variante, exklusiv
-------------------------------
5 Kranbahn links
6 Kranbahn rechts
7 Kranbahn mitte (LF5+LF6)/2
QS - Schnee- und Eislast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Hochbauten
Schneelasten - Orte in CEN-Mitgliedsstaaten niedriger als 1000 m ü. NN
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,5 / 0,2 / 0
Lastfälle 1. Variante, exklusiv
-------------------------------
2 Schnee
QW - Windlast
Gamma.sup / gamma.inf = 1,5 / 0
Kombinationsbeiwerte psi für: Hochbauten
Windlasten
Psi.0 / Psi.1 / Psi.2 = 0,6 / 0,2 / 0
Lastfälle 1. Variante, exklusiv
-------------------------------
3 Wind links
4 Wind rechts
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Lastfälle
---------
11 Th2+VV1 für My min,rechts;SK.1
12 Th2+VV2 für My min,links;SK.1
13 Th2 für My max,mitte;SK.1
14 Th2+VV1 für Nx min,rechts;SK.1
15 Th2+VV2 für Nx min,links;SK.1
1. Ständige und vorübergehende Situation
Endzustand
G - Eigenlast
QN - Nutzlast, Verkehrslast
QS - Schnee- und Eislast
QW - Windlast
1. Quasi-ständige Situation
Endzustand
G - Eigenlast
QN - Nutzlast, Verkehrslast
QS - Schnee- und Eislast
QW - Windlast
1. Besondere Situation
Endzustand
Fd - Bemessungswerte von Einwirkungen
Nachweis der Querschnittstragfähigkeit für Stäbe
Die Ergebnisse stellen die Extrema aller Kombinationen dar.
Klasse Maßgebende Querschnittsklasse nach EN 1993‑1‑1, Tab. 5.2.
3+ Die Klassen 1 und 2 wurden nicht untersucht, da wegen zulässiger
elastischer Ausnutzung kein plastischer Nachweis erforderlich war.
Ausnutzung Verhältnis der Beanspruchung Ed und der Beanspruchbarkeit Rd.
Plastische Beanspruchbarkeit nach Kap. 6.2.10 wird mit "!" markiert.
SK,BK Ständige und vorüberg. Komb., Besondere Kombination
Ausnutzung
Stab Qu. Ort Komb. Klasse elastisch plastisch
1 1 1 BK.1 1 0,14 0,10!
2 BK.1 1 0,20 0,11!
3 BK.1 1 0,31 0,22!
4 BK.1 1 0,43 0,33!
5 BK.1 1 0,55 0,44!
2 1 1 BK.1 1 0,55 0,44!
2 BK.1 1 0,64 0,52!
3 BK.1 1 0,73 0,60!
4 BK.1 1 0,82 0,68!
5 BK.1 1 0,92 0,76!
3 1 1 BK.1 1 0,89 0,76!
2 BK.1 1 0,92 0,78!
3 BK.1 1 0,95 0,81!
4 BK.1 1 0,98 0,84!
5 BK.1 1 1,01 0,86!
4 2 1 BK.1 1 1,04 0,90!
2 BK.1 1 0,66 0,56!
3 BK.1 1 0,33 0,27!
4 BK.1 2 0,15 0,11!
5 BK.1 1 0,33 0,27!
5 2 1 BK.1 1 0,33 0,27!
2 BK.1 1 0,47 0,39!
3 BK.1 1 0,54 0,46!
4 BK.1 1 0,57 0,49!
5 BK.1 1 0,55 0,47!
6 2 1 BK.1 1 0,55 0,47!
2 BK.1 1 0,57 0,49!
3 BK.1 1 0,54 0,46!
4 BK.1 1 0,47 0,39!
5 BK.1 1 0,33 0,27!
7 2 1 BK.1 1 0,33 0,27!
2 BK.1 2 0,15 0,11!
3 BK.1 1 0,33 0,27!
4 BK.1 1 0,66 0,56!
5 BK.1 1 1,04 0,90!
8 1 1 BK.1 1 1,01 0,86!
2 BK.1 1 0,98 0,84!
3 BK.1 1 0,95 0,81!
4 BK.1 1 0,92 0,78!
5 BK.1 1 0,89 0,76!
9 1 1 BK.1 1 0,92 0,76!
2 BK.1 1 0,82 0,68!
3 BK.1 1 0,73 0,60!
4 BK.1 1 0,64 0,52!
5 BK.1 1 0,55 0,44!
10 1 1 BK.1 1 0,55 0,44!
2 BK.1 1 0,43 0,33!
3 BK.1 1 0,31 0,22!
4 BK.1 1 0,20 0,11!
5 BK.1 1 0,14 0,10!
Klasse Maßgebende Querschnittsklasse nach EN 1993‑1‑1, Tab. 5.2.
Ausnutzung Verhältnis der Beanspruchung Ed und der Beanspruchbarkeit Rd.
x Abstand vom Stabanfang [m].
SK,BK Ständige und vorüberg. Komb., Besondere Kombination
Querschnitt Material Stab Ort x[m] Komb. Klasse Ausnutzung
1 HEB 500 S235-EN 3 5 1,00 BK.1 1 0,86
2 HEA 550 S235-EN 4 1 0,00 BK.1 1 0,90
Plastische Ausnutzungen
Nachfolgend wird zusätzlich ein Auszug aus dem ausführlichen Protokoll für Stab 4 abgedruckt. Daraus wird ersichtlich, dass an diesem Ort die elastische Querschnittstragfähigkeit überschritten und deshalb der plastische Nachweis notwendig wurde.
Nachweis der Querschnittstragfähigkeit für Stäbe
Die Ergebnisse stellen die Extrema aller Kombinationen dar.
Klasse Querschnittsklasse nach EN 1993‑1‑1, Tab. 5.2.
S, F, W Querschnittsteil bei Listenprofilen: Steg, Flansch, Winkel.
A.eff,I.eff Effektive Querschnittswerte Klasse 4 gemäß EN 1993-1-5, Kapitel 4.3.
e.z Verschiebung des Schwerpunkts von A.eff gegen den Schwerpunkt des
Bruttoquerschnitts zur Bestimmung des Zusatzmoments nach Gl. (6.4).
Ausnutzung Verhältnis der Beanspruchung Ed und der Beanspruchbarkeit Rd.
x Abstand vom Stabanfang [m].
Stab 4: x = 0,00 m (Stablänge 7,65 m)
Querschnitt 2: HEA 550, S235-EN, fyk=235 MN/m², A=21200 mm²
Steg : c = 438,0 mm, t = 12,5 mm, c/t = 35,04
Flansch: c = 116,7 mm, t = 24,0 mm, c/t = 4,86
1. Ständige und vorüberg. Komb. (SK.1): G+QN+QS+QW
Kein Schnittkraftsatz dieser Kombination war maßgebend.
1. Besondere Kombination (BK.1): Fd
Maßgebende Schnittgrößen aus 5 Schnittkraftsätzen
Klasse
Satz Nx[kN] Qz[kN] My[kNm] S F F F F
2 : -162,73 206,31 -978,36 1 1 1 1 1 : 1
Lastfallkombination des maßgebenden Schnittkraftsatzes
Satz Kombination
2 : L12
Normalspannungen [MN/m²]
Min. Sigma.x : -243,74 Klasse : 1
Sigma.x(Nx) : -7,68 Situation : BK.1,2
Sigma.x(My) : -236,07 Qu.punkt y [m] : 0,150
z [m] : 0,270
Max. Sigma.x : 228,39 Klasse : 1
Sigma.x(Nx) : -7,68 Situation : BK.1,2
Sigma.x(My) : 236,07 Qu.punkt y [m] : -0,150
z [m] : -0,270
Schubspannungen [MN/m²]
Ext. Tau.xy : -5,53 Klasse : 1
Tau.xy(Qz) : -5,53 Situation : BK.1,2
Qu.punkt y [m] : -0,033
z [m] : 0,246
Ext. Tau.xz : 34,05 Klasse : 1
Tau.xz(Qz) : 34,05 Situation : BK.1,2
Qu.punkt y [m] : 0,006
z [m] : -0,000
Vergleichsspannung [MN/m²]
Max. Sigma.v : 243,90 Klasse : 1
Sigma.x(Nx) : -7,68 Situation : BK.1,2
Sigma.x(My) : -236,07 Qu.punkt y [m] : 0,045
Tau.xy(Qz) : 5,13 z [m] : 0,270
Tau.xz(Qz) : 0,00
Nachweis der Beanspruchbarkeit und der Ausnutzung
Elastisch Ed Rd
Nx [kN] : -162,73 -156,79 Ausnutzung : 1,04 > 1
Qz [kN] : 206,31 198,78 Klasse : 1
My [kNm] : -978,36 -942,65 Situation : BK.1,2
Plastisch Ed Rd Kap. 6.2.10
Nx [kN] : -162,73 4982,00 Ausnutzung : 0,90
Qz [kN] : 206,31 1139,15 Klasse : 1
My [kNm] : -978,36 1086,13 Situation : BK.1,2
Die plastische Ausnutzung ist maßgebend.
Die maximalen Durchbiegungen uz.max unter der quasi-ständigen Situation sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt. Die größte Durchbiegung in Rahmenmitte beträgt 1/498 der Stützweite.
Maximale Durchbiegungen uz.max unter der 1. quasi-ständigen Situation [mm]
