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Die Berechnung der Temperaturverteilung in Festkörpern für den instationären Fall erfolgt über die Lösung der Wärmeleitungsgleichung nach Fourier. Diese hat für den hier behandelten zweidimensionalen Fall den folgenden Aufbau:
mit
| t | Zeit [s] |
| y, z | Gebietskoordinaten [m] |
Funktionen von y, z, t
| θ | Temperatur [°C] |
| ρ | Rohdichte [kg/m³] |
| cp | spez. Wärmekapazität [J/(kg K)] |
| λ | Wärmeleitfähigkeit [W/(m K)] |
Bei Flächenquerschnitten reduziert sich die Wärmeleitungsgleichung auf den eindimensionalen Fall mit der Koordinate z. Eine horizontale Wärmeleitung kann somit nicht erfasst werden. Hierfür müsste ein Volumenmodell herangezogen werden. Wärmequellen im Inneren des Integrationsgebiets werden bei Flächenquerschnitten nicht berücksichtigt. Da sämtliche Einflussgrößen zeitabhängig sind, ist ein Anfangswertproblem unter Berücksichtigung der Randbedingungen zu lösen. Als Anfangsbedingung wird die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0 im Integrationsgebiet vorgeschrieben.
Stabquerschnitt |
Flächenquerschnitt |
Für die hier zu behandelnden Problemstellungen werden die thermischen Einwirkungen hauptsächlich durch den Nettowärmestrom h⋅net [W/m²] normal zur Berandung bestimmt. Dieser setzt sich aus einem Konvektions- und einem Strahlungsanteil zusammen.
Der konvektive Anteil berechnet sich zu:
mit
| αc | Wärmeübergangskoeffizient [W/(m² K)] |
| Θg | Gastemperatur in der Umgebung des beanspruchten Bauteils [°C] |
| Θm | Temperatur an der Berandung des Bauteils [°C] |
Bei der Berechnung des konvektiven Anteils am Innenrand eines Querschnittslochs wird im Zeitintervall von einer mittleren Gastemperatur ausgegangen.
Der Nettowärmestrom zwischen zwei Flächen infolge Strahlung berechnet sich zu:
mit
| Φ | Konfigurationsfaktor |
| ε1, ε2 | Emissivitäten der Bauteiloberflächen [‑] |
| σ | Stephan-Boltzmann-Konstante [= 5,67⋅10‑8 W/(m2 K4)] |
| Θ1, Θ2 | Temperaturen der Bauteiloberflächen [°C] |
Der Konfigurationsfaktor wird durch die Oberflächengeometrie, dem Abstand der Flächen sowie ggf. durch Abschattungseffekte bestimmt. Die folgende Abbildung zeigt die zugrundeliegenden Größen.
Der Konfigurationsfaktor kann hiermit wie folgt ermittelt werden:
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(5) |
Im Falle der Strahlungseinwirkung durch Beflammung ergibt sich:
Φ = 1
| ε1 = εm | Emissivität der Bauteiloberfläche [‑] |
| ε2 = εf | Emissivität der Flamme (hier εf = 1) [‑] |
| Θ1 = Θr | Wirksame Stahlungstemperatur des Brandes (hier Θr = Θg) [°C] |
| Θ2 = Θm | Oberflächentemperatur an der Berandung des Bauteils [°C] |
Die Gastemperatur Θg eines Brandabschnittes wird als bekannt vorausgesetzt und ist in der Regel durch vorgegebene Temperaturzeitkurven definiert.
Das durch die Gleichungen (1) bis (5) gegebene nichtlineare Randwertproblem lässt sich nicht in geschlossener Form lösen. Zur Lösung wird die Methode der Finiten Elemente herangezogen. Hierzu wird das oben beschriebene Randwertproblem unter Verwendung der Methode von Galerkin und anschließender partieller Integration in ein System von Variationsgleichungen umgeformt.
Das Programmsystem verwendet kompatible Elemente mit einem vollständig quadratischen Ansatz. Daraus ergibt sich eine hohe Lösungsgenauigkeit, die weitgehend unabhängig von der Netzgeometrie ist.
Der Elementansatz erfüllt die sogenannte adiabatische Randbedingung automatisch. D.h. wenn keine Randbedingung explizit vorgegeben wird, findet über diesen Rand kein Austausch von thermischer Energie statt.
Das nichtlineare Anfangswertproblem wird mit Hilfe einer Zeitschrittintegration in Verbindung mit einem inkrementellen Newton-Raphson-Algorithmus gelöst. Nach erfolgter Berechnung stehen die Temperaturprofile für alle untersuchten Zeitpunkte zur Weiterverarbeitung zur Verfügung.
