<< Hier Klicken, um das Inhaltsverzeichnis anzuzeigen >> Nichtlineare Systemanalyse > Beispiele Unbewehrte Betonstrukturen Einfeldträger: Abb.1, Tab.1, Tab.2, Abb.2, Abb.3, Abb.4, Abb.5, Abb.6 L‑Scheibe: Abb.7, Tab.3, Tab.4, Abb.8, Abb.9, Abb.10

Die Validierung des implementierten elasto-plastischen Schädigungsmodells (Plastizität-Schädigung), welches in InfoCAD für Schalen- und Vo­lu­men­ele­men­te der Materialart Frei zur Verfügung steht, erfolgt unter anderem mit Hilfe der experimentellen Resultate von Petersson (1981) und Winkler (2001). Deren Ver­such­s­er­geb­nis­se dienen als Referenz und werden bei der Entwicklung von nichtlinearen Materialmodellen häufig verwendet, um numerisch ermittelte Lösungen, wie z.B. Last-Verschiebungskurven, zu verifizieren. Beide nachfolgend behandelten Strukturen sind unbewehrt. Zunächst wird der 3‑Punkt-Biegebalken von Petersson (mit Einkerbung in Feldmitte) analysiert. Aufgrund der Geometrie und den Randbedingungen befindet sich der bei zunehmender Belastung einstellende ‘Riss’ ausschließlich im Mode I (Öffnen der Rissufer senkrecht zur Rissebene). Wird ein zusätzliches Abgleiten der ‘Rissufer’ (Mode II) beobachtet, befindet sich der ‘Riss’ im sogenannten Mixed-Mode. Diese Art der Rissbeanspruchung stellt sich bei der L‑förmigen Scheibe von Winkler ein.

 

Einfeldträger (3‑Punkt-Biegeversuch nach Petersson)

Die geometrischen Abmessungen des von Petersson (1981) in seiner Dissertation untersuchten Einfeldträgers mit Einkerbung in Feldmitte sowie dessen Randbedingungen und Diskretisierung mit Volumenelementen (VQ83) sind in Abbildung 1 dargestellt. Die Breite der Einkerbung (2 cm) entspricht hierbei der kleinsten Netzweite unterhalb der Lastaufbringung (Rots et al., 1985).

Der in benannter Abbildung eingezeichnete Punkt A dient nachfolgend der Auswertung von sich einstellenden in­elas­ti­schen und plastischen Verzerrungen sowie der Schädigung über den gesamten Belastungspfad. Die auf den statisch bestimmt gelagerten 3‑Punkt-Biegebalken wirkende Last wurde verschiebungsgesteuert aufgebracht.

Als Berechnungsmethode wurde das Bogenlängenverfahren verwendet. Zusammen mit den verwendeten Material­pa­ra­me­tern ist die gewählte Fehlertoleranz, Iterationsanzahl und initiale Bogenlänge in Tabelle 1 eingetragen. Um Unterschiede zwischen den implementierten nichtlinearen Volumenmodellen (hier: kombiniertes Modell nach Lubliner und Lee & Fenves sowie reine Schädigung nach de Vree) aufzuzeigen, wird neben der Validierung des elasto-plastischen Schä­di­gungs­mo­dells (in InfoCAD: Plastizität-Schädigung) auch der Einfluss der De Vree - Modellparameter auf die numerisch prognostizierte Traglast und Entfestigung analysiert. Hierfür werden insgesamt vier verschiedene Simulationen durchgeführt. Alle verwendeten Modellparameter enthält Tabelle 2. Während beim kombinierten Modell (N1) die mittels Beton­proben beim Versuch gemessenen Bruchenergien (Betonalter: 28 Tage / Durchschnittswerte: Gt = 124 N/m, Gc = 23 kN/m) unmittelbar in die numerische Berechnung eingehen und sowohl die Traglast als auch den Ent­fes­ti­gungs­ver­lauf bestimmen, muss beim De Vree - Modell (zurzeit keine Berücksichtigung einer bruchenergetischer Re­gu­la­ri­sie­rung) eine Anpassung der Spannungs-Verzerrungsbeziehung über die Parameter A und B erfolgen.

Der Unterschied zwischen beiden Modellen bzw. bei deren Handhabung wird anhand der in Abbildung 2 und 3 illustrierten Last-Verschiebungskurven (InfoCAD) deutlich. Ein Modell aus Schalen­ele­men­ten erzielt vergleichbare Ergebnisse.

Bei Verwendung des elasto-plastischen Schädigungsmodells (Plastizität-Schädigung) und der aus Versuchen bekannten Bruchenergien (Gt, Gc) wird eine sehr gute Übereinstimmung mit den beim Experiment aufgezeichneten Last-Verschiebungs­kurven erzielt. Eine Anpassung der Modellparameter ist nicht erforderlich. Beides, die Traglast und das ent­fes­ti­gen­de Material­verhalten werden hinreichend genau numerisch prognostiziert. Dies zeigt auch eine Gegen­über­stel­lung mit anderen numerischen Ergebnissen (De Borst, 1986; Rots et al. 1985). Anders verhält es sich mit den in Abbildung 3 aufgetragenen Resultaten. Es wird deutlich, dass das De Vree – Modell eine Parameterstudie zur realitätsnahen Abbildung eines bestimmten Materialverhaltens notwendig macht. Traglast und Grad der Steifigkeitsreduktion sind stark miteinander gekoppelt. Die Modellierung eines starken Zuwachses der Schädigung resultiert in einer verminderten Traglast, eine langsame Zunahme der Schädigung hingegen in einer erhöhten Traglast (Steuerung durch den Parameter B).

Zur weiteren Analyse, aber auch um mögliche Ergebnisdarstellungen in InfoCAD aufzuzeigen, werden hier zusätzlich zur Last-Verschiebungskurve (siehe in Abbildung 2) weitere numerische Resultate des kombinierten Modells ausgewertet.

Hierzu zählen die sich bei zunehmender Belastung einstellende Schädigung (Abbildung 4) sowie die inelastischen (εin) und plastischen (εpl) Verzerrungen (Abbildung 5). Zudem kann der Zusammenhang zwischen letztgenannten Größen (bei ein­axia­lem Zug: εtpl / εtin = 0,1, siehe Kombiniertes Modell, Abbildung 17), unmittelbar anhand der Ergebnisse des Petersson Experiments nachvollzogen werden. Entweder bei Betrachtung der Konturplots, welche auch den unter­schied­li­chen Degra­da­ti­ons­zu­stand innerhalb der gesamten Struktur, u.a. bei Erreichen der Traglast, anschaulich darlegen (‚Rissinitiierung und Rissausbreitung’ oberhalb der Einkerbung), oder bei Betrachtung von Abbildung 6, welche die Entwicklung sowohl der Schädigung als auch der inelastischen und plastischen Verzerrungen über den gesamten Belastungspfad illustriert (die Auswertung erfolgt an Punkt A, siehe Abbildung 1).

 

L‑Scheibe nach Winkler

Um die bei der Analyse des Einfeldträgers (Petersson, 1981) festgestellte, sehr gute Abbildungsfähigkeit des elasto-plastischen Schädigungsmodelles (Plastizität-Schädigung) bezüglich Steifigkeitdegradation und Schädigungsentwicklung zu bestätigen, werden die numerischen Ergebnisse anhand einer zweiten Versuchsreihe verifiziert. Es handelt sich hierbei um eine von Winkler (2001) in seiner Dissertation untersuchte, unbewehrte L‑förmige Scheibe.

Die geometrischen Abmessungen und Randbedingungen sind in Abbildung 7 dargestellt. Des Weiteren abgebildet sind zwei Diskretisierungen mit Tetraederelementen und unterschiedlicher Netzweite. Numerische Analysen sollen hier Aufschluss über den Einfluss der Elementgröße auf das Entfestigungsverhalten geben. Auch bei diesem Beispiel erzielt ein Modell aus Scha­len­ele­men­ten vergleichbare Ergebnisse. Zur Minimierung der Spannungen und somit auch der etwaigen Schädigungen im Auflagerbereich wird die L‑Scheibe statisch bestimmt gelagert. Zudem wird, in Analogie zum 3‑Punkt-Biegebalken, die Last auch hier verschiebungsgesteuert aufgebracht. Infolge des Bogenlängenverfahrens, das erneut als Be­rech­nungs­me­tho­de verwendet wird, ist die Darstellung von Last-Verschiebungskurven sowie die über den Belastungsverlauf zunehmende Schädigung an ausgewählten Knoten der diskretisierten Struktur unmittelbar möglich. Gleiches gilt für die inelastischen und plastischen Verzerrungen. Es werden jedoch nachfolgend, im Gegensatz zur Auswertung der Ergebnisse des Einfeldträgers, ausschließlich Last-Verschiebungskurven verifiziert bzw. den beim Experiment aufgezeichneten Kurven gegenübergestellt.

Nicht verzichtet wird indes auf zwei Konturplots, bei deren Betrachtung der Zusammenhang von Verformung und Schädigung (‚Rissverlauf’) deutlich wird. Tabelle 3 beinhaltet relevante Materialparameter und alle notwendigen Parameter zur Steuerung des Bogenlängenverfahrens. Zwei weitere Materialkenngrößen, welche Eingangsparameter des kombinierten Modells darstellen, nämlich die beiden Bruchenergien (Zug: Gt, Druck: Gc), sind hingegen in Tabelle 4 eingetragen.

Die in InfoCAD definierten Standardwerte (Gt = 100 N/m, Gc = 15 kN/m, εc1 = 2,2 p.m.) wurden für die FE‑Simulationen nicht verändert.

Es erfolgt auch bei diesem Validierungsbeispiel ein Vergleich von kombiniertem Modell (Plastizität-Schädigung) und reinem Schädigungsmodell (De Vree). Die gewählten Parameter (A und B) zur Generierung der einaxialen Spannungs-Verzerrungsbeziehung nach Peerlings (1999) können ebenfalls Tabelle 4 entnommen werden.

Erneut zeigt sich bei Verwendung des elasto-plastischen Schädigungsmodells eine sehr gute Übereinstimmung zwischen numerisch und experimentell ermittelten Last-Verschiebungskurven, siehe Abbildung 8. Die Traglast wird für beide Diskretisierungen hinreichend genau prognostiziert. Aufgrund der kleineren charakteristischen Länge beim feinen Netz (9752 Elemente) und der damit verbundenen erhöhten elementspezifischen Bruchenergie lässt sich jedoch eine minimal geringere Steifigkeitsabminderung im Nachbruchbereich beobachten. Für beide FE‑Netze wurde die Analyse auch mit konstanter Steifigkeit (Linear Stiffness Method) durchgeführt. Durch die sehr geringe Fehlertoleranz sind aller­dings die Unterschiede minimal. Besonders bei komplexen Strukturanalysen und Spannungszuständen wird jedoch zur Berechnung eine konstante Steifigkeit empfohlen.

In Abbildung 9 ist für den letzten Lastschritt (w = 0,8 mm) die vertikale Verschiebung (links) zusammen mit der Schädigungsverteilung (rechts) dargestellt. Der sich einstellende, nahezu spannungsfreie, ‚Riss’ verläuft in gleicher Weise wie beim Experiment (Winkler, 2001) in einem leichten Bogen von der einspringenden Ecke zur gegenüberliegenden Seite der Scheibe. Beide Konturplots entstammen der Simulation mit feiner Diskretisierung und veränderlicher Steifigkeit.

Während das kombinierte Modell bereits sehr gute Ergebnisse mit den Standard-Modellparametern (Tabelle 4) erzielt, bedarf es bei Nutzung des De Vree - Modells eine (evtl. mehrmalige) Anpassung derselbigen, um das reale Materialverhalten abzubilden (siehe vorheriger Abschnitt). Eine vorab durchgeführte, aber hier nicht näher beschriebene, Parameterstudie ergab eine akzeptable Spannungs-Verzerrungsbeziehung für die in Tabelle 4 eingetragenen Parameter. Die Traglast wird mit dem feinen FE‑Netz geringfügig unterschätzt, das Nachbruchverhalten hingegen hinreichend genau prognostiziert. Oberhalb dieser Last-Verschiebungskurve liegt wie erwartet der bei grober Diskretisierung ermittelte Verlauf. In diesem Fall liefert das Berechnungsmodell eine zu geringe Degradation des Materials nach Überschreiten der Traglast. Das Nach­bruch­ver­hal­ten weicht somit von dem beim Experiment beobachteten Entfestigungsverlauf ab.

Auf die Zusammenhänge von Traglast und Entfestigungsverlauf sowie auf eventuell durchzuführende Parameterstudien zur Generierung einer adäquaten einaxialen Spannungs-Verzerrungsbeziehung wurde bereits beim Einfeldträger mit Einkerbung (Petersson, 1981) eingegangen. Auf wiederholende Erläuterungen wird daher an dieser Stelle verzichtet und stattdessen auf den vorherigen Abschnitt verwiesen.