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Es werden schubweiche Stabelemente mit 4 Knoten verwendet. Die beiden inneren Knoten sind für den Anwender verborgen. Jeder Knoten hat die Freiheitsgrade ux, uy, uz, φx, φy und φz .
Stabelement mit Knotenfreiheitsgraden
Da bei schubweichen Elementen für die Verschiebungen und Verdrehungen unabhängige Verformungsansätze gemacht werden, sind bei dem vorliegenden Stabelement sämtliche Formänderungen durch Polynome 3. Grades approximiert.
Dies erlaubt eine gleichwertige Darstellung der Dehnungen und Krümmungen, was insbesondere bei der Erfassung der physikalischen Nichtlinearitäten von Vorteil ist. Sämtliche Schnittgrößen werden durch Polynome 2. Grades (quadratische Parabeln) beschrieben.
In Verbindung mit Schalenelementen kommen aus Kompatibilitätsgründen gleichwertige, schubstarre Stabelemente zur Anwendung.
Bei linearer Berechnung ergeben sich hiermit bei konstanter Elementbelastung in Längs- oder Querrichtung exakte Ergebnisse. Davon abweichende Beanspruchungen, wie Einzellasten im Element oder Trapezlasten im Element, können nur genähert erfasst werden. Die Qualität der Ergebnisse hängt dann von der gewählten Tragwerksdiskretisierung ab.
Kinematik
ux(x, y, z) = ux(x) ‑ y · φz(x) + z ·φy(x)
uy(x, y, z) = uy(x) ‑ z · φx(x)
uz(x, y, z) = uz(x) ‑ y · φx(x)
Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen
\begin{align*}
\varepsilon_\mathrm{x}=
\frac{\partial u_\mathrm{x}}{\partial x}
+\frac{1}{2}\left[{
\left({\frac{\partial u_\mathrm{y}}{\partial x}}\right)^2
+\left({\frac{\partial u_\mathrm{z}}{\partial x}}\right)^2
}\right]
\end{align*}\begin{align*}
\gamma_\mathrm{xy}=
\frac{\partial u_\mathrm{x}}{\partial y}
+\frac{\partial u_\mathrm{y}}{\partial x}
\end{align*}\begin{align*}
\gamma_\mathrm{xz}=
\frac{\partial u_\mathrm{z}}{\partial x}
+\frac{\partial u_\mathrm{x}}{\partial z}
\end{align*}\begin{align*}
\vartheta'=
\frac{\partial\varphi_\mathrm{x}}{\partial x}
\end{align*}\begin{align*}
\varepsilon_\mathrm{y}
=\varepsilon_\mathrm{z}
=\gamma_\mathrm{yz}=0
\end{align*}
Virtuelle innere Arbeit
\begin{align*}
\Psi(a)=
\int_{V}\delta\varepsilon\cdot\sigma\ dV
+ \int_{V}\delta\gamma\cdot\tau\ dV
+ \int_{L}\delta\vartheta'\cdot M_\mathrm{x}\ dx
\end{align*}
| Normalkraft Schub Torsion Biegung |
| a | Knotenfreiheitsgrade |
Tangentiale Steifigkeitsmatrix
\begin{align*}
\frac{d\Psi}{da}=
K_\mathrm{T}=
\int_{V}\left({d\ B^\mathrm{T}\cdot\sigma + B^\mathrm{T}\cdot
\frac{d\sigma}{\delta\varepsilon}}\right)dV
+ K_\mathrm{Schub} + K_\mathrm{Torsion}
\end{align*}
= K0 + KG + KL + KSchub + KTorsion
mit dε = B·da und B = B0 + BL
Gegebenenfalls kommen noch Terme aus der Bettung der Elemente hinzu.