<< Hier Klicken, um das Inhaltsverzeichnis anzuzeigen >> Nichtlineare Systemanalyse > Grundlagen > Flächen- und Volumenelemente aus einer allgemeinen Materialart Kombiniertes Modell (Plastizität-Schädigung)

Die konstitutiven Beziehungen des elasto-plastischen Schädigungsmodells ergeben sich durch Kombination von Gl. V1 und Gl. V12 wie folgt:

Eine Kopplung von Spannungen σ und effektiven Spannungen erfolgt hier mittels der skalaren Schädigungsvariablen D, welche analog zur Vorgehensweise bei den reinen Schädigungsmodellen die Steifigkeit isotrop reduziert:

Zur Ermittlung der plastischen Verzerrungen ε pl wird zunächst die Fließbedingung nach Lubliner et al. (V18) unter Berücksichtigung der effektiven Spannungen ausgewertet:

Eingangsgrößen sind neben den effektiven Spannungen auch zwei interne Variablen (Lee & Fenves, 1998), die plastischen Verzerrungen auf der Zug ( εtpl ) und Druckseite ( εcpl ):

Deren Evolutionen bzw. Inkremente, welche die Ver- und Entfestigung des Materials beschreiben, können in Abhängigkeit der Eigenwerte des plastischen Verzerrungstensors sowie triaxialen Faktors (V5) wie folgt berechnet werden:

Der Faktor in Gl. V26 ist hier, im Fall des kombinierten Modells (Plastizität u. Schädigung), nicht konstant (vgl. Gl. V19), sondern anhängig von den beiden internen Variablen:

Analog zur Formulierung des Lubliner-Modells bei reiner Plastizität wird auch hier zur Ermittlung der Verzerrungsinkremente eine nicht-assoziative Fließregel verwendet. Die Evolution der plastischen Verzerrungen ergibt sich unter Berücksichtigung von Gl. V21 und V22. Nach iterativer Berechnung des plastischen Multiplikators Δλ mittels Return-Mapping-Verfahren, erfolgt die Ermittlung des skalaren Schädigungsparameters D als Funktion der internen Variablen . Aufgrund der getrennten Betrachtung von Zug- und Druckseite bei den plastischen Verzerrungen wird mit dem Schädigungsparameter in gleicher Weise verfahren. Mit den Parametern für Zug

und Druck

wird schließlich die isotrope Schädigung für den dreidimensionalen Spannungszustand bestimmt (V23):

Da in InfoCAD zurzeit kein Belastungswechsel (Be- und Entlastung bzw. Hysterese) simuliert werden kann, wird ein Öffnen oder Schließen der Risse bei Berechnung des Schädigungsparameters nicht berücksichtigt ( sc = st = 1 ).

Zur realitätsnahen Beschreibung des Materialverhalten werden einaxiale Spannungs-Verzerrungsbeziehungen verwendet, die auf eine Zerlegung der Verzerrungen in elastische, plastische bzw. inelastische Anteile beruhen. Getrennt für Druck (Stauchung) und Zug (Dehnung) lauten die Beziehungen wie folgt (Abb. 17 und 18):

Der Faktor bc bzw. bt bestimmt hierbei das Verhältnis von plastischen und inelastischen Verzerrungen und somit auch die Neigung von etwaigen Entlastungspfaden. Während bei einem Faktor von bc,t = 1 keine Schädigung des Materials eintritt ( D = 0 ) und Be- und Entlastungspfade die gleiche Neigung einnehmen, bleiben bei einem Faktor von bc,t = 0 keine plastischen Verzerrungen nach Entlastung zurück. Anhand beider Grenzfälle lässt sich der Einfluss des Parameters anschaulich darlegen (siehe auch Abb. 17 und 18). Ein realitätsnahes Materialverhalten von Beton bei Be- und Entastungsvorgängen wird jedoch mit diesen beiden Fällen nicht abgebildet. Bei experimentellen Ergebnissen zeigt sich häufig, dass das Verhältnis von plastischen zu inelastischen Verzerrungen den Wert bc = 0,7 (Druck) und bt = 0,1 (Zug) annimmt. Demzufolge werden diese beiden Werte auch in InfoCAD verwendet.

Die hier implementierten einaxialen Spannungs-Verzerrungsbeziehungen sind bereichsweise definiert. Zunächst werden die Funktionen für eine reine Druckbeanspruchung erläutert. Der erste von insgesamt drei Abschnitten beschreibt das linear elastische Materialverhalten bei Belastungsbeginn:

In Anlehnung an die Normkurven wird hier als initiale Fließspannung das 0,4‑fache der Druckfestigkeit angesetzt. Nach Erreichen dieses Grenzwertes wird die tangentiale Steifigkeit (initial: E0 ) sukzessive abgemindert bis sich ein horizontaler Verlauf bei σc( εc ) =  fc einstellt. Für diesen zweiten Abschnitt wird aufgrund der guten Übereinstimmung mit ex­pe­ri­men­tel­len Ergebnissen folgende analytische Funktion aus CEB‑FIP Model Code 1990 verwendet:

Um einen kontinuierlichen Übergang zwischen den ersten beiden Abschnitten der Spannungs-Verzerrungsbeziehung zu gewährleisten, wird zur Auswertung von Gl. V36 nicht das Elastizitätsmodul des ungeschädigten Materials ( Eci = E0 ), sondern folgendes Sekantenmodul eingesetzt:

Die Grenzstauchung εc1 ist in gleicher Weise wie die Druckfestigkeit im Dialog der Materialeigenschaften a‑priori festzulegen. Zur realitätsnahen Abbildung des Nachbruchverhaltens von Beton und Minimierung der Netzabhängigkeit bei dessen numerischer Simulation wird hier auf den Ansatz von Krätzig & Pölling (2004) zurückgegriffen. Dieser dritte und letzte Abschnitt der Spannungs-Verzerrungsbeziehung unter monotoner Druckbeanspruchung wird durch nachfolgende Funktion beschrieben:

mit

sowie der elementbezogenen, volumenspezifischen Zerstauchungsenergie: gc = Gc / lc . Um die Netzabhängigkeit bei Entfestigung nahezu auszuschliessen wird die Zerstauchungsenergie Gc an die Elementgröße (Volumen Ve ) gekoppelt. Als cha­rak­te­ris­ti­sche Länge lc gilt vereinfachend für Volumenelemente: lc = Ve1/3 (Oliver, 1989). Experimentelle Versuche an Probekörpern haben zudem gezeigt, dass für Normalbeton der Betrag der Zerstauchungsenergie Gc im Bereich zwischen 10 und 25 kN/m liegt (Vonk, 1992). In InfoCAD sind jedoch Werte zwischen 5 und 500 kN/m zulässig.

Der Einfluss der Energie auf den freien Parameter γc, welcher die Fläche unterhalb der Spannungs-Ver­zer­rungs­be­zie­hung definiert, wird anhand von Gl. V39 deutlich. Aufgrund der Bedingung γc > 0 ist zudem ein negativer Nenner aus­zu­schließen. Demzufolge sollte zur Vermeidung eines Snap-back-Verhaltens die cha­rak­te­ris­ti­sche Länge folgenden Wert nicht überschreiten (Krätzig & Pölling, 2004):

Für eine monotone Druckbeanspruchung ist in Abbildung 17 (links) und Abbildung 19 das aus drei Teilen bestehende Spannungs-Verzerrungsdiagramm dargestellt. Abbildung 19 zeigt zudem anschaulich die gute Übereinstimmung von numerischen (InfoCAD) und experimentellen (Sinha et al., 1964) Ergebnissen.

Bis auf die Zerstauchungsenergie (hier: Gc = 26 kN/m) wurden alle Parameter für die Vergleichsrechnung aus der Ver­öf­fent­li­chung von Krätzig & Pölling (2004) entnommen.

Nach Beschreibung der in InfoCAD implementierten Spannungs-Verzerrungsbeziehung für eine Druckbeanspruchung wer­den nun nachfolgend die Funktionen für eine Zugbeanspruchung konkretisiert. Hierfür sind lediglich zwei Bereiche zu definieren. Der erste Bereich beschreibt das linear elastische Materialverhalten bis zum Erreichen der Zugspannung ft

und der zweite Bereich das entfestigende Materialverhalten (abfallender Ast). Die Funktion, welche die Entfestigung von Beton unter monotoner Zugbeanspruchung realitätsnah abbildet, beruht auf den wissenschaftlichen Arbeiten von Cornelissen et al. (1986) und Hordjik (1992). Folgende Spannungs-Rissöffnungsbeziehung wurde bei Experimenten em­pi­risch ermittelt:

Mit Hilfe der inelastischen Verzerrungen εtin (V34) wird die Spannungs-Rissöffnungsbeziehung schließlich in eine Spannungs-Dehnungsbeziehung überführt:

Die volumenspezifische Bruchenergie gf = Gf / lc und somit die Abhängigkeit des abfallenden Astes von der Elementgröße (Bažant & Oh, 1983) wird bereits in Gl. V43 berücksichtigt:

Nach Lösung des Integrals über die kritische Rissweite wc folgt:

Neben der Zugfestigkeit ft ist somit auch die Bruchenergie Gf oder die kritische Rissweite wc als Materialkennwert a‑priori festzulegen. In InfoCAD wurde die Bruchenergie als Eingangsgröße gewählt (siehe Dialog Materialeigenschaften). Über obige Gleichung kann jedoch bei bekannter Grenzrissweite unmittelbar die Bruchenergie bestimmt werden.

In Abbildung 20 ist die Spannungs-Dehnungsbeziehung für monotone Zugbeanspruchungen dargestellt. Hierbei wird deutlich, dass bei Verwendung der von Cornelissen et al. (1986) und Hordjik (1992) generierten Funktion negative Spannungen zu erwarten sind, sobald die zur Dehnung korrespondierende Rissweite w den Betrag der kritischen Rissweite wc überschreitet: w = εtin · lc > wc (siehe V42). Da negative Spannungen unzulässig sind, ist für diesen Dehnungsbereich eine Anpassung bei der numerischen Umsetzung vorzunehmen.

Um zum Beispiel einen Knick in der Spannungs-Verzerrungsbeziehung auszuschließen, welcher sich bei Überschreiten der kritischen Rissweite einstellt, wenn die Spannung in diesem Bereich zu Null gesetzt würde ⟨ σt ( εt ) ⟩, wird für die Berechnung mit InfoCAD die Spannungs-Rissöffnungsbeziehung (V42) leicht abgeändert. Zum einen wird der dritte Term vernachlässigt, womit negative Spannungen ausgeschlossen werden und zum anderen wird ein Faktor für die Restzugfestigkeit r eingeführt, so dass Spannungen auch bei unendlich großen Dehnungen niemals Null werden, sondern sich asymptotisch den Wert σt ( εt ) = r · ft annähern (hier r = 0,02). Die angepasste Spannungs-Rissöffnungsbeziehung lautet dann:

Zusätzlich zur Ursprungsform ist auch die abgeänderte Spannungs-Dehnungsbeziehung für monotone Zugbeanspruchungen in Abbildung 20 dargestellt. Neben den unterschiedlichen Funktionsverläufe nach Erreichen der kritischen Rissweite wird deutlich, dass die Abweichung beider Zugspannungen vor Erreichen der Grenzrissweite vernachlässigbar klein ist.

In gleicher Weise wie zuvor bei der Druckbeanspruchung sollte auch hier die charakteristische Länge lc einen bestimmten Wert nicht überschreiten, um eine Snap-back-Verhalten zu vermeiden. Das Limit ist wie folgt definiert [ Irwin (1958), Hillerborg et al. (1976), Bažant & Oh (1983)]:

Um die gute Abbildungsfähigkeit der in InfoCAD implementierten Spannungs-Dehnungsbeziehung darzulegen, werden auch hier numerische und experimentelle Ergebnisse miteinander verglichen. Abbildung 21 zeigt die gute Übereinstimmung.