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Die Bemessung erfolgt für Stäbe und Bemessungsobjekte nach Kap 11.3 der Kanadischen Norm CSA‑A23.3‑14:2015 und bedarf als Nachweis der Stufe 4 der Abstimmung mit den Obersten Straßenbaubehörden der Länder. Eine Kombination mit Nachweisen der Stufen 2 und 3 ist gemäß Kapitel 4.2 der Nachrechnungsrichtlinie zulässig. Untersuchungen zum Sicherheitsniveau und Empfehlungen zur Anwendung der Kanadischen Norm werden von Stettner et al. (2024) beschrieben.
Das Bemessungsverfahren der Kanadischen Norm basiert nach Khaldoun und Collins (1999) auf der Modified Compression Field Theory (MCFT). Die theoretischen Grundlagen der MFCT sind z.B. in Vecchio und Collins (1986) dargestellt. Für die Anwendung in der Praxis wurden vereinfachte Gleichungen in die Norm eingeführt (Simplified Modified Compression Field Theory, vgl. Bentz/Veccio/Collins 2006).
Die Möglichkeiten zur weiteren Vereinfachung nach CSA, Kapitel 11.3.6.3, werden programmseitig nicht genutzt, da sie nur bei nicht vorgespannten Bauteilen zulässig sind. Statt dessen kommt die allgemeine Methode nach Kapitel 11.3.6.4 zur Anwendung. Dabei erfolgt die Bemessung in folgenden Schritten:
Längsdehnungsparameter εx
Die nachfolgende Abbildung zeigt die aus den Einwirkungen resultierenden Anteile des Längsdehnungsparameters εx nach Khaldoun und Collins (1999).
Anteile des Längsdehnungsparameters εx nach Khaldoun und Collins (1999)
In der Norm wird für die Horizontalkomponente der Querkraft im Zug- und Druckgurt die Vereinfachung 0,5·cot Θ ≈ 1 genutzt (vgl. Maurer 2011, S. 15). Die in den Bemessungsgleichungen benutzten Bezeichnungen sind aus nachfolgender Abbildung ersichtlich.
CSA A23.3‑14, Bild 11.2
Der Längsdehnungsparameter εx ist dann nach Gl. (11.13) zu bestimmen:
Dabei ist
| Mf, Nf | das einwirkende Biegemoment und die einwirkende Längskraft. |
| Vf, Vp | die einwirkende Querkraft und der Querkraftanteil aus Vorspannung nach Abzug der Kriech- und Schwindverluste, der der einwirkenden Querkraft entgegenwirkt, faktorisiert mit dem Sicherheitsbeiwert ϕp = 0,90 nach Kapitel 8.4.3 (vgl. CSA, S. 39). |
| Es, Ep | der Elastizitätsmodul des Betonstahls und Spannstahls. |
| As, Ap | die Summe der vorgegebenen Betonstahl- und Spannstahllagen auf der Biegezugseite des Querschnitts gemäß CSA, Bild 11.2. |
| fp0 | die Spannstahlspannung, die zu fp0 = min(0,7 · fpu; Pm0 / Ap) angenommen wird. |
| fpu | die Zugfestigkeit des Spannstahls. |
| Pm0 | die gemäß Zulassung erlaubte Vorspannkraft. |
| dv | der innere Hebelarm mit dv = max(0,9 · d; 0,72 · h) (vgl. CSA, S. 32) oder davon abweichend gemäß Vorgabe im Querschnittsdialog. |
| d | die Nutzhöhe des Querschnitts. |
| h | die Gesamthöhe des Querschnitts. |
Mf, Nf und Vf sind die mit den maßgebenden Sicherheitsbeiwerten faktorisierten Einwirkungen ohne die Wirkung der Vorspannung. Folgende zu Gl. (11.13) angegebenen Bedingungen werden berücksichtigt:
| (a) | Vf und Mf sind als Absolutbeträge anzunehmen, wobei Mf nicht kleiner als (Vf – Vp) · dv anzusetzen ist. |
| (c) | Wenn εx negativ wird, ist die Dehnung mit dem Nenner 2·(EsAs + EpAp + EcAct) neu zu berechnen und auf ‑0,20·10‑3 zu begrenzen, wobei Act die Querschnittsfläche auf der Biegezugseite gemäß Abbildung 11.2 definiert und Ec den Elastizitätsmodul des Betons. |
| (e) | Wenn die Längsspannung σx zum Aufreißen des Betons auf der Biegedruckseite führt (d.h. bei σx > fctm), ist die berechnete Dehnung zu verdoppeln. |
| (f) | Die rechnerische Dehnung ist auf 3,0·10‑3 zu begrenzen. |
Die konstruktiven Bedingungen (b) und (d) in 11.3.6.4 bleiben unberücksichtigt.
Bei Querschnitten, die durch Torsion beansprucht werden, ist der Term (Vf – Vp) in Gl. (11.13) durch den Ausdruck gemäß Gl. (11.20) zu ersetzen:
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(11.20) |
Dabei ist:
| ph | der Umfang des Kernquerschnitts mit ph = 2 · (z1 + z2). |
| A0 | die vom Schubfluss umschlossene Fläche mit A0 = 0,85 · A0h. |
| A0h | die Fläche des Kernquerschnitts mit A0h = z1 · z2. |
| z1, z2 | die Abmessungen des Torsionsquerschnitts gemäß Benutzereingabe. |
Schubbeiwert ß
Der Beiwert ß zur Berücksichtigung des Schubwiderstands im gerissenen Beton wird nach Gl. (11.11) bestimmt:
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(11.11) |
Dabei ist:
| εx | der Längsdehnungsparameter nach Gl. (11.13). |
| sze | der äquivalente Rissabstandsparameter in [mm] unter Berücksichtigung der Korngröße, der mit 300 mm anzunehmen ist, wenn mindestens die Schubbewehrung Av nach Gl. (11.1) im Querschnitt vorhanden ist: |
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(11.1) |
Anderenfalls soll sze nach Gl. (11.10) berechnet werden:
Das Ergebnis ist auf 0,85 · sz nach unten zu begrenzen.
| sz | der Rissabstandsparameter in Abhängigkeit von der Längsbewehrung gemäß Bild 11.2, der im Querschnittsdialog als Minimum aus dv und dem größten Abstand der Längsbewehrungslagen vorzugeben ist. |
| fc’ | die Zylinderdruckfestigkeit des Betons. |
| bw | die effektive Stegbreite gemäß Kap. 11.2.10.1. |
| s | der Abstand der Schubbügel in Längsrichtung. |
| fy | die Streckgrenze der Schubbewehrung. |
| ag | das Größtkorn des Betons gemäß Benutzereingabe. Bei Festigkeiten fc’ > 70 MN/m² ist ag in Gl. (11.10) zu Null zu setzen und bei Festigkeiten zwischen 60 und 70 MN/m² bis auf Null linear zu reduzieren. |
Neigungswinkel Θ
Der Neigungswinkel Θ der schiefen Hauptdruckspannungen gegen die Längsachse des Bauteils ist nach Gl. (11.12) zu ermitteln:
Nachweis für Querkraft
Der Querschnitt ist so zu bemessen, dass die Bedingung der Gl. (11.3) erfüllt wird:
Dabei ist:
| Vf | die einwirkende Querkraft. |
| Vr | der Querkraftwiderstand des Querschnitts nach Gl. (11.4) |
wobei der Höchstwert Vr,max nach Gl. (11.5) nicht überschritten werden darf:
| Vc | der Querkraftwiderstand des unbewehrten Betons nach Gl. (11.6), wobei ß nicht kleiner als 0,05 und √fc’ nicht größer als 8 MN/m² anzunehmen ist: |
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(11.6) |
| ϕc | der Sicherheitsbeiwert für Beton nach Kap. 8.4.2 mit ϕc = 0,65. |
| λ | der Modifikationsfaktor für die Betondichte nach Kap. 8.6.5. |
| bw | die effektive Stegbreite gemäß Kap. 11.2.10.2 unter Berücksichtigung der Hüllrohre. |
| Vs | der Querkraftwiderstand der Bewehrung nach Gl. (11.7) bei Annahme senkrechter Bügel: |
| Vp | der günstig wirkender Querkraftanteil aus Vorspannung nach Abzug der Kriech- und Schwindverluste, faktorisiert mit dem Sicherheitsbeiwert ϕp = 0,90 nach Kapitel 8.4.3. |
| ϕs | der Sicherheitsbeiwert für Bewehrungsstahl nach Kap. 8.4.3 mit ϕs = 0,85. |
| Av | die Gesamtfläche der Querkraftbewehrung. |
| fy | die Streckgrenze der Bewehrung. |
| θ | die nach Gl. (11.12) berechnete Neigung der schiefen Hauptdruckspannungen. |
Die nach Gl. (11.7) ermittelte Bewehrung Av darf gemäß Kap. 11.2.8.1 in folgenden Bereichen die Mindestbewehrung nach Gl. (11.1) nicht unterschreiten:
| • | Bereiche mit Vf > Vc + Vp von auf Biegung beanspruchten Bauteilen |
| • | Bereiche mit einer Gesamtdicke (overall thickness) von mehr als 750 mm. Mahrzahn et al. (2015, S. 836) beschreiben die Größe als „Bauteilbreite“. |
| • | Bereiche mit Tf > 0,25 · Tcr von auf Biegung beanspruchten Bauteilen mit Tcr nach Gl. (11.2) |
Der Anwender hat dafür Sorge zu tragen, dass in diesen Bereichen im Querschnittsdialog ein Faktor von mindestens 1 für die Mindestbewehrung vorgegeben wird.
Nachweis für Torsion und kombinierte Beanspruchung
Torsionsbewehrung ist gemäß Kap. 11.2.9.1 nachzuweisen, wenn das am ungerissenen Querschnitt ermittelte Torsionsmoment Tf den Wert 0,25 · Tcr überschreitet, wobei Tcr nach Gl. (11.2) bestimmt wird:
Dabei ist:
| Ac | die Gesamtfläche des Torsionsquerschnitts, die sich zu Ac = (z1 + t) · (z2 + t) ergibt (vgl. Chaallal 2010, S. 201, Bild 6.4). Für Kastenquerschnitte mit einer Wandstärke kleiner als 0,75·Ac / pc soll Ac in Gl. (11.2) durch 1,5·Ag ersetzt werden. |
| Ag | die Betonfläche des Torsionsquerschnitts, die sich zu Ag = 2 t · (z1 + z2) ergibt. |
| pc | der Umfang des Torsionsquerschnitts, der sich zu pc = 2 · (z1 + t + z2 + t) ergibt. |
| z1, z2, t | die Abmessungen des Torsionsquerschnitts gemäß Benutzereingabe. |
| ϕp | der Sicherheitsbeiwert für Spannstahl nach Kap. 8.4.3 mit ϕp = 0,90. |
| fcp | der Betrag der zentrischen Betondruckspannung aus Vorspannung nach Abzug der Spannkraftverluste. |
Torsionsbügelbewehrung
Der Querschnitt ist so zu bemessen, dass die Bedingung der Gl. (11.16) erfüllt wird:
Dabei ist:
| Tf | das einwirkende Torsionsmoment, wobei die Wirkung der Vorspannung mit ϕp gemäß Kap. 8.4.3 gewichtet wird. |
| Tr | der Torsionswiderstand des Querschnitts nach Gl. (11.17): |
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(11.17) |
| At | die Fläche eines einschnittigen, geschlossenen Torsionsbügels. |
| A0 | die vom Schubfluss umschlossene Fläche mit A0 = 0,85 · A0h. |
| A0h | die Fläche des Kernquerschnitts mit A0h = z1 · z2. |
| z1, z2 | die Abmessungen des Torsionsquerschnitts gemäß Benutzereingabe. |
| ϕs | der Sicherheitsbeiwert für Bewehrungsstahl nach Kap. 8.4.3 mit ϕs = 0,85. |
Torsionslängsbewehrung
Die Torsionslängsbewehrung wird gemäß Kap. 11.3.10.6 nach Gl. (11.14) bemessen, wobei der Term (Vf ‑ 0,5Vs ‑ Vp) durch Gl. (11.21) zu ersetzen ist.
Damit erhält man:
\begin{align*}
F_\mathrm{lt}=\frac{M_\mathrm{f}}{d_\mathrm{v}}+0,5N_\mathrm{f}+
\left({V_\mathrm{f}-0,5 V_\mathrm{s}- V_\mathrm{p}}\right)\cot\ \Theta
\end{align*}
Da die Längsbewehrung für Biegung und Normalkraft programmseitig getrennt bemessen wird und der Zugkraftanteil in der Längsbewehrung infolge Querkraft nach DIN FB 102, Bild 4.13 [DIN EN 1992‑2, Gl. (6.18)], zu ermitteln ist, ergibt sich der allein für Torsion erforderliche Anteil an der Längsbewehrung mit
\begin{align*}
F_\mathrm{lt}=\frac{0,45\ p_\mathrm{h}\ T_\mathrm{f}}{2 A_0}\ \cot\ \Theta
\end{align*}
zu
\begin{align*}
A_\mathrm{lt}=\frac{0,45\ p_\mathrm{h}\ T_\mathrm{f}}{2 A_0\ \phi_\mathrm{s}\ f_\mathrm{y}}\ \cot\ \Theta
\end{align*}
Dabei ist:
| ph | der Umfang des Kernquerschnitts mit ph = 2 · (z1 + z2). |
Grenztragfähigkeit
Die Grenze der Tragfähigkeit für einen durch Querkraft und Torsion beanspruchten Querschnitt ist nach Kap. 11.3.10.4 durch die folgenden Interaktionsgleichungen definiert.
(a) für Kastenquerschnitte:
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(11.18) |
Wenn die Wandstärke t des Kastenquerschnitts den Wert A0h / ph unterschreitet, ist der zweite Term in Gl. (11.18) durch Tf / (1.7 A0h · t) zu ersetzen.
(b) für sonstige Querschnitte:
