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Die Berechnung der Temperaturverteilung in Festkörpern für den instationären Fall erfolgt über die Lösung der Wärmeleitungsgleichung nach Fourier. Diese hat den folgenden Aufbau:
mit
| t | Zeit [s] |
| x, y, z | Gebietskoordinaten [m] |
Funktionen von y, z, t
θ |
Temperatur [°C] |
ρ |
Rohdichte [kg/m³] |
cp |
spez. Wärmekapazität [J/(kg K)] |
λ |
Wärmeleitfähigkeit [W/(m K)] |
q· |
Wärmequelle (Leistungsdichte) [W/m³] |
Da sämtliche Einflußgrößen zeitabhängig sind, ist ein Anfangswertproblem unter Berücksichtigung der Randbedingungen zu lösen. Als Anfangsbedingung wird die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0 im Integrationsvolumen vorgeschrieben.
Für die hier zu behandelnden Problemstellungen werden die thermischen Einwirkungen hauptsächlich durch den Nettowärmestrom h⋅net [W/m²] normal zu den Oberflächen bestimmt. Dieser setzt sich aus einem Konvektions- und einem Strahlungsanteil zusammen.
Der konvektive Anteil berechnet sich zu:
mit
| αc | Wärmeübergangskoeffizient [W/(m² K)] |
| Θg | Gastemperatur in der Umgebung des beanspruchten Bauteils [°C] |
| Θm | Temperatur an den Oberflächen des Bauteils [°C] |
Der Nettowärestrom zwischen zwei Flächen infolge Strahlung berechnet sich zu:
mit
| Φ | Konfigurationsfaktor |
| ε1, ε2 | Emissivitäten der Bauteiloberflächen [-] |
| σ | Stephan-Boltzmann-Konstante [= 5,67⋅10-8 W/(m2 K4)] |
| Θ1, Θ2 | Temperaturen der Bauteiloberflächen [°C] |
Der Konfigurationsfaktor wird durch die Oberflächengeometrie, dem Abstand der Flächen sowie ggf. durch Abschattungseffekte bestimmt. Die folgende Abbildung zeigt die zugrundeliegenden Größen.
Der Konfigurationsfaktor kann hiermit wie folgt ermittelt werden:
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(5) |
Im Falle der Strahlungseinwirkung durch Beflammung ergibt sich:
Φ = 1
| ε1 = εm | Emissivität der Bauteiloberfläche [-] |
| ε2 = εf | Emissivität der Flamme (hier εr = 1) [-] |
| Θ1 = Θr | Wirksame Stahlungstemperatur des Brandes (hier Θr = Θg) [°C] |
| Θ2 = Θm | Oberflächentemperatur an der Berandung des Bauteils [°C] |
Die Gastemperatur Θg wird als bekannt vorausgesetzt und ist in der Regel durch vorgegebene Temperaturzeitkurven definiert.
Das durch die Gleichungen (1) bis (4) gegebene nichtlineare Randwertproblem lässt sich nicht in geschlossener Form lösen. Zur Lösung wird die Methode der Finiten Elemente herangezogen. Hierzu wird das oben beschriebene Randwertproblem unter Verwendung der Methode von Galerkin und anschließender partieller Integration in ein System von Variationsgleichungen umgeformt.
Das Programmsystem verwendet kompatible Elemente mit einem vollständig quadratischen Ansatz. Daraus ergibt sich eine hohe Lösungsgenauigkeit, die weitgehend unabhängig von der Netzgeometrie ist.
Der Elementansatz erfüllt die sogenannte adiabatische Randbedingung automatisch. D.h. wenn keine Randbedingung explizit vorgegeben wird, findet über diese Oberfläche kein Austausch von thermischer Energie statt.
Das nichtlineare Anfangswertproblem wird mit Hilfe einer Zeitschrittintegration in Verbindung mit einem inkrementellen Newton-Raphson-Algorithmus gelöst. Nach erfolgter Berechnung stehen die Temperaturprofile für alle untersuchten Zeitpunkte zur Weiterverarbeitung zur Verfügung.
