<< Hier Klicken, um das Inhaltsverzeichnis anzuzeigen >> Finite Elemente > Grundlagen > Gleichungslöser Iterativer Gleichungslöser

Die iterative Lösung des Gleichungssystems erfolgt nach dem „vorkonditionierten Algorithmus der konjungierten Gradienten“ (Schwarz, 1984). Der wesentliche Vorteil dieser Lösungsmethode be­steht in der kompakten Speicherung der Koeffizientenmatrix. Es werden nur die Koeffizienten un­gleich Null des ursprünglichen Gleichungssystems gespeichert. Zusätzlich kann sich für bestimmte Trag­werke eine kürzere Lösungszeit ergeben. Als Nachteil einer iterativen Lösung ist anzusehen, dass für jeden Lastfall von neuem mit der Iteration begonnen werden muss.

Die Anzahl der erforderlichen Iterationsschritte ist problemabhängig, liegt jedoch bei größeren Gleichungs­systemen bei etwa 5 bis 15 % der Anzahl der Unbekannten.

Im Gegensatz zur Lösung durch Triangulation kann bei der iterativen Lösung eine Singularität des Gleichungs­systems, z.B. aufgrund fehlender Lagerung oder Stabili­täts­ver­sagen nach Theorie 2. Ordnung, nicht unmittelbar festgestellt werden.

 

Die Iterationsmethode ermittelt das Minimum des quadratischen Funktionals

f(x) = 1/2 · xT · A · x + bT · x

Die notwendige Bedingung hierfür ist durch das zu lösende Gleichungssystem

A · x + b = 0

gegeben. Das Minimum von f (x) wird iterativ bestimmt, indem in jedem Teil­schritt von der Richtung des Gradienten von f (x) Gebrauch gemacht wird.

Das Konvergenz­ver­halten einer iterativen Lösungs­methode ist direkt abhängig von der Kon­ditions­zahl der Koeffizienten­matrix A des Gleichungs­systems. Je kleiner die Kon­ditions­zahl, desto weniger Iterations­schritte sind für die Lösung erforderlich. Der vor­liegende Algorithmus verwendet eine Vor­konditionierung je Iterations­schritt mit der Kon­ditionierungs­matrix

H = I + ω · E

mit

Bei optimaler Wahl des Parameters ω ist die Konditionszahl der vorkonditionierten Matrix gleich der Quadratwurzel der ursprünglichen Konditionszahl. Im Programm wurde der Parameter ω auf 1,10 festgelegt.