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Der Anwendungsbereich für eine numerische Simulation von Kontaktproblemen ist vielfältig.

So treten in der Regel immer dann, wenn Körper interagieren, die nicht monolithisch miteinander verbunden sind, Einwirkungen auf, welche mittels Kontakt übertragen werden.

Beispiele im Bauwesen sind Kopfplattenverbindungen, Auflagerungen, Ankerplatten, Fertigteilverbindungen, Staudämme etc. Auch der Fall, dass Bauteile, die sich zunächst nicht berühren, jedoch aufgrund ihrer Verformung miteinander kontaktieren, muss berücksichtigt werden.

 

Die nachfolgende Abbildung zeigt schematisch zwei Körper, die in Kontakt treten.

Master- und Slave-Fläche mit Kontaktspannungen

Dabei treten Normal- und ggf. auch Schubspannungen auf (Reibung). Zur Definition der interagierenden Oberflächen unterscheidet man zwischen Slave- und Master-Flächen. Die Kontaktanalyse muss sicherstellen, dass Punkte der Slave-Fläche nicht in die Master-Fläche eindringen. Ein wesentlicher Bestandteil der Untersuchung besteht in der Auffindung der Oberflächenteile, die unter Berücksichtigung der Systemverformungen miteinander in Kontakt treten. Bis auf wenige Sonderfälle sind diese a priori nicht bekannt.

Aus den genannten Tatsachen resultiert, dass Kontaktprobleme hochgradig nichtlinear sind.

Eine Modellierung von Kontaktproblemen mittels der Methode der finiten Elemente kann als Punkt/Punkt‑, Punkt/Fläche- oder Fläche/Fläche-Kontakt erfolgen.

Im folgenden soll die Behandlung von Kontaktproblemen in Verbindung mit Tetraeder-Elementen beschrieben werden. Hierbei kommen Fläche/Fläche-Kontaktelemente zur Anwendung, für deren Herleitung auf die angegebene Literatur verwiesen wird.

Um die Modellierung für den Programmbenutzer möglichst einfach zu gestalten, wurde auf eine direkte Eingabe von Kontaktelementen verzichtet. Zur Problembeschreibung müssen lediglich Master- und Slaveflächen definiert werden, die paarweise einander zugeordnet sind.

Modellvolumen mit Master- und Slave-Flächen

Die obige Abbildung zeigt Modellvolumen mit Master- und Slave-Flächen. Da die genauen Kontaktflächen nicht bekannt sind, können diese großzügig gewählt werden. Aus diesen Informationen ermittelt das Programm automatisch die infrage kommenden Kontaktbereiche und baut intern die zugehörigen Kontaktelemente auf. Hierzu ist es nicht erforderlich, dass die Elementierung von Master- und Slave-Fläche übereinstimmt. Es muss jedoch sichergestellt werden, dass die Knoten von Master- und Slave-Flächen nicht miteinander verbunden sind.

Die Ermittlung der Kontaktsteifigkeit wird ebenfalls programmintern durch Auswertung der beteiligten Elementsteifigkeiten durchgeführt.

 

Neben den bereits beschriebenen Eingabedaten werden noch zusätzliche Kontakteigenschaften bereitgestellt:

 

Faktor für Kontaktsteifigkeit

Der Benutzer kann die Kontaktsteifigkeit durch Eingabe eines Korrekturfaktors modifizieren, um eine genauere Einhaltung der Kontaktbedingungen oder bessere Konvergenz zu erzielen.

Eine überhöhte Kontaktsteifigkeit führt zu einer schlechten Kondition des Gleichungssystems und damit zu Kon­ver­genz­pro­ble­men.

 

Reibungskoeffizient

Zur Berücksichtigung der Coulomb'schen Reibung muss ein Reibungskoeffizient definiert werden. Das Reibungsgesetz wird durch die nachfolgende Fließbedingung beschrieben.

f  = || tT || + μ·tN  =  0

Fließfläche für Coulomb'sche Reibung

Eine Übertragung von Schubspannungen ist nur bei negativer Normalspannung möglich. Solange die resultierende Schubspannung innerhalb des Kegels verbleibt, tritt Haftreibung auf, ansonsten Gleitreibung. Letztere kann bei statischen Beanspruchungen jedoch nicht auftreten. Die Erfassung von Gleitreibung erfordert eine Zeitschrittintegration und bleibt somit dynamischen Problemstellungen vorbehalten.

Die Erfüllung der Kontaktbedingungen ist mit Hilfe einer Penaltyformulierung implementiert.

Diese erhöht im Gegensatz zur Methode der LAGRANGE'schen Multiplikatoren nicht die Anzahl der Unbekannten. Das oben beschriebene Reibungsgesetz verlangt die Berücksichtigung eines nicht assoziativen Fließgesetzes. Dies hat zur Folge, dass die Steifigkeitsmatrix unsymmetrisch wird. Da im Programmsystem z.Zt. stets von einer symmetrischen Gesamt­stei­fig­keits­matrix ausgegangen wird, kann das Reibungsgesetz bei Gleitreibung nur näherungsweise erfasst werden.

 

Einflussradius

Die nachfolgende Abbildung zeigt schematisch den Einflussradius mit zugehöriger Umkugel. Hiermit kann der Benutzer den Suchbereich für die Kontaktfindung der beteiligten Tetraederelemente begrenzen. Dies ist zur Beschleunigung der Kon­ver­genz und Verringerung der Rechenzeit angezeigt, da hiermit der Einbau der internen Kontaktelemente auf den rele­van­ten Bereich beschränkt wird.

Elemente der Slave-Fläche, deren Abstand zum Master­element „j“ größer als der Einfluss­radius ist, erhalten kein internes Kontakt­element (i‑j) und können daher während der Berechnung nicht kontaktieren.

 

Besonderheiten

Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Kopfplattenanschluss in deformierter Darstellung.

   

Kopfplattenanschluss

Zur Beschreibung dieses Kontaktproblems sind drei Master/Slave-Bereiche zu unterscheiden.

Eine Trennung der einzelnen Kontaktbereiche ist hier unbedingt erforderlich, da sich diese

ansonsten überschneiden würden und es somit zu unerwünschten Interaktionen käme.

Die Vorspannung der Schrauben wurde hierbei berücksichtigt. Der gesamte Anschluss trägt nur mittels Kontakt.

 

Die nachfolgende Abbildung zeigt zwei Sonderfälle, die durch die verwendeten Fläche/Fläche-Kontaktelemente nicht modelliert werden können.

   

Nicht modellierbare Sonderfälle

Selbst bei strikter Einhaltung der Kontaktbedingungen dringen die kontaktierenden Punkte der Slave-Flächen in die Masterfläche ein. Um dies zu verhindern, wären Punkt/Fläche- bzw. Linie/Fläche-Kontaktelemente einzuführen.

 

Wie bereits oben erwähnt, sind Kontaktprobleme hochgradig nichtlinear. Deshalb sind als Einwirkungen stets vollständige, gewichtete Lastsituationen in Ansatz zu bringen. Für die Ergebnisse gilt folglich nicht mehr das Superpositionsprinzip, d.h. sie dürfen nicht mit anderen Resultaten additiv überlagert werden.

Aufgrund der Nichtlinearitäten kann nicht in allen Fällen eine Konvergenz der Iteration sichergestellt werden.

 

Eine Abschaltung von Kontaktbedingungen ist nach deren Einführung aufgrund der Knotentrennung von Master- und Slave-Flächen nicht mehr möglich, da ansonsten die Körper ineinander eindringen bzw. System­ver­schieb­lich­keiten auftreten würden. Um wieder ein System mit monolithischer Verbindung zu erzeugen, ist deshalb eine Neuvernetzung ohne Knotentrennung erforderlich.