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Laminate werden für die numerische Simulation von Flächentragwerken aus geschichtetem Material verwendet. Hierbei kann es sich z.B. um GFK oder Sperrholz handeln.
Ein Laminatquerschnitt ist aus orthotropen Schichten aufgebaut, welche jeweils unterschiedlich ausgerichtet sein können. Die Orthotropierichtungen "1" und "2" einer Schicht, in denen die Nachgiebigkeitsmatrix definiert ist, sind über den Winkel φx1 festgelegt. Die Bezugsebene für die Elastizitätsmatrizen ist die Schalenmittelfläche. Im Ansatz wird davon ausgegangen, dass über die Querschnittsdicke eine konstante Krümmung existiert. Im Standardfall wird bei der Berechnung vollständiger Verbund zwischen den Schichten vorausgesetzt. Optional kann auch ohne Schubverbund zwischen den Schichten gerechnet werden. In Querschnitten ohne Schubverbund sind die mittleren Dehnungen der Schichten gleich der mittleren Dehnung des Querschnitts.
Laminat mit Schichten, Elementkoordinatensystem (x, y, z) und Koordinatensystem einer Laminatschicht
Die Nachgiebigkeitsmatrix einer Laminatschicht ist für ihre Orthotropierichtungen definiert durch:
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dabei ist
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Die Werte d, φx1, E1, E2, μ21, G12, G13, G23 sowie der Wärmeausdehnungskoeffizient αt werden getrennt für jede Schicht festgelegt. Die G‑Moduln G13 und G23 finden nur bei schubweichen „Mindlin‑Reissner“ Elementen Verwendung. Die dabei verwendeten Schubkorrekturbeiwerte κ13 und κ23 für die z‑Richtung (3) werden mit 5/6 = 0,8333 angenommen.
Bei isotropem Material ist E1 = E2 = E, μ21 = μ12 = μ, G12 = E / [2·(1 + μ)].
Sind die Laminatschichten nicht symmetrisch im Querschnitt angeordnet und schubfest miteinander verbunden, so sind in der integralen Elastizitätsmatrix Koppelterme ungleich Null vorhanden. Diese Koppelterme bewirken Normalkräfte infolge Krümmungen bzw. Biegemomente infolge Dehnungen. Die einzelnen Terme der Elastizitätsmatrix werden im Protokoll aufgeführt.
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{c}
n_\mathrm{x}\\
n_\mathrm{y}\\
n_\mathrm{xy}\\
\cline{1-1}
m_\mathrm{x}\\
m_\mathrm{y}\\
m_\mathrm{xy}
\end{array}\right\} =
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
&&& &&\\
&D_\mathrm{S}&&&D_\mathrm{K}&\\
&&& &&\\
\cline{1-6}
&&& &&\\
&D_\mathrm{K}&&&D_\mathrm{P}&\\
&&& &&\\
\end{array}\right]\cdot
\left\{\begin{array}{c}
\varepsilon_\mathrm{x}\\
\varepsilon_\mathrm{y}\\
\gamma_\mathrm{xy}\\
\cline{1-1}
\kappa_\mathrm{x}\\
\kappa_\mathrm{y}\\
\kappa_\mathrm{xy}
\end{array}\right\}
\end{align*}
Integrale Elastizitätsmatrix mit DS = Scheiben‑, DP = Platten‑, DK = Koppelanteil
