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Die Substrukturtechnik stellt eine alternative direkte Lösungsmethode dar. Bei besonderen Tragwerksmodellen wie z.B. Hochhäusern, deren Geschossdecken über die aufgehenden Bauteile (Wände und Stützen) nur schwach gekoppelt sind, zeichnet sie sich gegenüber dem Standard-Gleichungslöser durch reduzierten Speicherbedarf aus.
Der Grundgedanke dieser Methode besteht darin, das Tragwerksmodell in eine Anzahl von Substrukturen zu zerlegen, welche über gemeinsame (globale) Knoten gekoppelt sind. Festhaltungen und Koppelknoten sind grundsätzlich globale Knoten. Die Freiheitsgrade aller übrigen (lokalen) Knoten einer Substruktur können nach Kondensierung als Funktion der globalen Knotenfreiheitsgrade ausgedrückt werden. Die nachfolgende Abbildung zeigt ein einfaches Tragwerk mit einer möglichen Substruktureinteilung. In InfoCAD werden die Substrukturen durch die Layernummer definiert.
Substruktureinteilung eines Regenrückhaltebeckens in Explosionsdarstellung
Als Ergebnis des Kondensationsprozesses erhält man Subelementmatrizen, die nur noch globale Knotenfreiheitsgrade enthalten. Diese werden anschließend in die Gesamtsteifigkeits- bzw. Gesamtmassenmatrix der globalen Knotenfreiheitsgrade einsortiert. Mit dem Lastvektor wird in ähnlicher Weise verfahren. Nach Berechnung der globalen Knotenfreiheitsgrade können die lokalen Freiheitsgrade aus den Subelementmatrizen ermittelt werden.
Kondensationsprozess für statische Probleme
Der Kondensationsprozess stellt sich formal folgendermaßen dar:
| 1. | Gleichungssystem für eine Substruktur aufbauen K · u = b |
| 2. | Trennung lokaler (Index l) und globaler (Index g) Freiheitsgrade \begin{align*}
\begin{bmatrix}
K_\mathrm{ll} & K_\mathrm{lg}\\
K_\mathrm{gl} & K_\mathrm{gg}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
u_\mathrm{l}\\
u_\mathrm{g}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
b_\mathrm{l}\\
b_\mathrm{g}
\end{bmatrix}
\end{align*} |
| 3. | Elimination der lokalen Freiheitsgrade einer Substruktur \begin{align*}
K_\mathrm{kond.} =
K_\mathrm{gg} - K_\mathrm{gl}\cdot K_\mathrm{ll}^{-1}\cdot K_\mathrm{lg}
\end{align*}  \begin{align*}
b_\mathrm{kond.} =
b_\mathrm{g} - K_\mathrm{gl}\cdot K_\mathrm{ll}^{-1}\cdot b_\mathrm{l}
\end{align*} |
kondensierte Steifigkeitsmatrix kondensierter Lastvektor
| 4. | Aufbau und Lösung der Gesamtsteifigkeitsmatrix der globalen Knotenfreiheitsgrade |
| 5. | Berechnung der lokalen Freiheitsgrade der Substrukturen \begin{align*}
u_\mathrm{l} =
K_\mathrm{ll}^{-1}\cdot\left({
b_\mathrm{l} - K_\mathrm{lg}\cdot u_\mathrm{g}
}\right)
\end{align*} |
Kondensationsprozess für dynamische Eigenwertprobleme
Der Kondensationsprozess stellt sich formal folgendermaßen dar:
| 1. | Eigenwertproblem für eine Substruktur formulieren K · u = λ · M · u |
| 2. | Trennung lokaler (Index l) und globaler (Index g) Freiheitsgrade \begin{align*}
\begin{bmatrix}
K_\mathrm{ll} & K_\mathrm{lg}\\
K_\mathrm{gl} & K_\mathrm{gg}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
u_\mathrm{l}\\
u_\mathrm{g}
\end{bmatrix} =
\lambda\cdot
\begin{bmatrix}
M_\mathrm{ll} & M_\mathrm{lg}\\
M_\mathrm{gl} & M_\mathrm{gg}
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
u_\mathrm{l}\\
u_\mathrm{g}
\end{bmatrix}
\end{align*} |
| 3. | Elimination der lokalen Freiheitsgrade \begin{align*}
u_\mathrm{l} =
-\left({K_\mathrm{ll}-\lambda\cdot M_\mathrm{ll}}\right)^{-1}
\cdot\left({K_\mathrm{lg}-\lambda\cdot M_\mathrm{lg}}\right)\cdot u_\mathrm{g}
= T_\mathrm{lg}\cdot u_\mathrm{g}
\end{align*} |
Da der Eigenwert λ unbekannt ist, wird er im Sinne einer statischen Kondensation gleich Null gesetzt. Daraus ergeben sich folgende kondensierte Subelementmatrizen:
\begin{align*}
K_\mathrm{kond.} =
K_\mathrm{gg} - K_\mathrm{gl}\cdot K_\mathrm{ll}^{-1}\cdot K_\mathrm{lg}
\end{align*}
kondensierte Steifigkeitsmatrix
\begin{align*}
M_\mathrm{kond.} = M_\mathrm{gg}
+ T_\mathrm{lg}^\mathrm{T}\cdot M_\mathrm{lg}
+ M_\mathrm{gl}\cdot T_\mathrm{lg}
+ T_\mathrm{lg}^\mathrm{T}\cdot M_\mathrm{lg}\cdot T_\mathrm{lg}
\end{align*}
kondensierte Massenmatrix
| 4. | Aufbau der Gesamtsteifigkeits- und Gesamtmassenmatrix der globalen Freiheitsgrade. Lösung des Eigenwertproblems für die globalen Freiheitsgrade. |
| 5. | Berechnung der lokalen Freiheitsgrade der Eigenvektoren der Substrukturen. |
Da bei der Kondensation der Eigenwert λ zu Null gesetzt wurde, liefert das kondensierte Eigenwertproblem nicht die exakten Eigenwerte. Für Schwingungsformen, deren wesentlichen Anteile durch die globalen Freiheitsgrade bestimmt werden, ergeben sich diese jedoch mit ausreichender Genauigkeit.
Der wesentliche Vorteil des beschriebenen Verfahrens besteht darin, dass die Gesamtsteifigkeits- und Gesamtmassenmatrix aller Knotenfreiheitsgrade zu keiner Zeit benötigt werden, und somit der Speicherplatzbedarf und die Rechenzeit i.d.R. erheblich geringer sind. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass sich bei ungünstigem Verhältnis von globalen zu lokalen Knoten auch höhere Rechenzeiten bzw. ein erhöhter Speicherplatzbedarf ergeben können. Die Anwendung der Substrukturtechnik ist grundsätzlich erst bei großen Tragwerksmodellen sinnvoll, da der beschriebene Prozess gegenüber der herkömmlichen Lösung einen deutlich höheren Verwaltungsaufwand nach sich zieht. Um sich vorab einen Überblick über die Substruktur-Topologie zu verschaffen, kann bei den Einstellungen zur Berechnung ein Informationsprotokoll angefordert werden, welches Aufschluss über die Größe und die Anzahl lokaler bzw. globaler Knoten einer Substruktur gibt. Nachfolgend ist für das oben gezeigte Rückhaltebecken eine solche Liste abgedruckt.
Systemkenngrößen Gesamtsystem
Knoten 488
Elemente 458
Unbekannte 144
Bandbreite 2928
Steifigkeitsmatrix 2,7 MB
Aufbau der Substrukturen
Sub- globale lokale Ele- Band- Steifigkeits-
struktur Knoten Knoten mente breite matrix
-------------------------------------------------------------
1 60 171 200 66 2,5 MB
2 30 79 84 48 622,9 KB
3 30 79 84 48 622,6 KB
4 21 45 50 60 308,1 KB
5 19 36 40 48 221,1 KB
Man erkennt, dass bei diesem Beispiel die Anwendung der Substrukturierung keine Vorteile gegenüber einer Berechnung als Gesamtsystem bietet. Grundsätzlich sollten die Substrukturen so ausgelegt werden, dass der Speicherplatzbedarf der Steifigkeitsmatrix einer Substruktur geringer ist als der verfügbare Kernspeicher, da sonst der Kondensierungsprozess sehr zeitintensiv ist.