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Das Programmmodul Theorie 2. oder 3. Ordnung ist eine Erweiterung des Finite-Element-Programms und ermöglicht die Lösung der nachfolgenden geometrisch nichtlinearen Problemstellungen:
| • | Stabknicken und Kippen. Hierbei können die Stabkräfte auf die verformte oder unverformte Stabsehne bezogen sein. |
| • | Platten- und Schalenbeulen. |
| • | Berechnung kombinierter Tragwerke nach der Theorie 2. Ordnung (Gleichgewicht am verformten System mit der Annahme kleiner Verformungen (sin φ = φ und cos φ = 1)). |
| • | Berechnung kombinierter Tragwerke nach der Theorie 3. Ordnung (Gleichgewicht am verformten System mit der Annahme großer Verformungen). |
Die Gleichgewichtsiteration erfolgt nach dem Lagrange’schen Verfahren unter Zugrundelegung der totalen tangentialen Steifigkeitsmatrix nach der Theorie 2. oder 3. Ordnung. Bei der Berechnung nach Theorie 3. Ordnung erfasst der verwendete Dehnungsansatz (Green Dehnung) große Verformungen aber nur kleine Dehnungen. Das Verfahren konvergiert i.d.R. bereits nach wenigen Iterationsschritten. Stabilitätsversagen wird durch Singularität der Gesamtsteifigkeitsmatrix angezeigt.
Es gelten die folgenden Voraussetzungen:
| • | Die Stäbe sind planmäßig gerade. |
| • | Die Flächenelemente sind planmäßig eben. |
| • | Der Flächen- bzw. Stabquerschnitt ist elementweise konstant. |
| • | Querschnittsabmessungen sind klein gegenüber den Systemabmessungen. |
| • | Die Querschnittsform eines Stabelements bleibt bei der Tragwerksverformung unverändert, d.h. auch Querschnittsverwölbungen werden nicht berücksichtigt. |
| • | Deformationen sind klein gegenüber den übrigen Abmessungen (Theorie 2. Ordnung). |
| • | Die mathematische Krümmung wird linearisiert (Theorie 2. Ordnung). |
| • | Die Belastung wird langsam auf ihren Endwert gesteigert und erfährt durch die Systemverformung keine Richtungsänderung. |
| • | Es wird nicht der iterative Gleichungslöser oder einer konstante Steifigkeitsmatrix verwendet. Diese können ein Versagen nicht unmittelbar feststellen. |
Zur Berücksichtigung der Einflüsse nach Theorie 2. oder 3. Ordnung wird die tangentiale Steifigkeitsmatrix KT benötigt. Diese wird durch Formulierung der linearisierten virtuellen Arbeit und Variation nach den Knotenfreiheitsgraden gewonnen.
Es gilt in allgemeiner Form:
KT = |
KG |
+ |
K0 |
+ |
KL |
geometrische |
Matrix für |
Matrix für |
|||
sowie in anderer Schreibweise:
\begin{align*}
K_\mathrm{T}=\!\int_\mathrm{V}{\!\!B_\mathrm{G}^\mathrm{T}\;S\;B_\mathrm{G}\;}dV+
\int_\mathrm{V}{\!\!B_0^\mathrm{T}\;D\;B_0\;}dV+
\int_\mathrm{V}{\!\!\left({
B_0^\mathrm{T}\;D\;B_\mathrm{L}+
B_\mathrm{L}^\mathrm{T}\;D\;B_\mathrm{L}+
B_\mathrm{L}^\mathrm{T}\;D\;B_0
}\right)}dV
\end{align*}
mit
| B0 | Differentialoperator (Theorie 1. Ordnung) |
| BG | Differentialoperator (Theorie 2. Ordnung) |
| BL | Differentialoperator (Theorie 3. Ordnung) |
| D | Elastizitätsmatrix |
| S | Spannungsmatrix |
Bei der Berechnung nach Theorie 2. Ordnung wird die Matrix für große Verformungen (Theorie 3. Ordnung) vernachlässigt. Bei Theorie 3. Ordnung werden alle Terme berücksichtigt.
Die Matrizen KG und KL sind im Gegensatz zur linearen Matrix K0 Funktionen der unbekannten Knotenverschiebungen, da die Spannungsmatrix S und der Differentialoperator BL diese enthält. Deshalb ist, wie bereits oben erwähnt, eine iterative Lösung erforderlich.
Die Steifigkeitsmatrix des räumlichen Stabelementes wird auch durch Formulierung der virtuellen Arbeit der inneren Kraftgrößen gewonnen. Für die Verformungen im Stabsystem (u, v, w, φ) gelten folgende Vorzeichen:
Es gilt:
\begin{align*}
\delta\;A_\mathrm{i}=
\int_\mathrm{V}{\!\!\delta\;\varepsilon\;\sigma_\mathrm{x}\;}dV+
\int_\mathrm{L}{\!\!\delta\;\varphi'\;M_\mathrm{x}\;}dx
\end{align*}
(Normalspannungen) (St. Venant'sche Torsion)
mit
\begin{align*}
\varepsilon = u' - y\;v'' - z\;w'' -
y\;\varphi\;w'' +
z\;\varphi\;v'' +
\frac{1}{2}\left[{u'^2 + v'^2 + w'^2 +
\left({y^2 + z^2}\right)\varphi'^2}\right]
\end{align*}
σx = E ( u' – y v'' – z w'' ) (linearisiert)
Mx = G Ix φ'
Nach Einführung der oben genannten Beziehungen, Vernachlässigung von Größen höherer Ordnung, Durchführung der Variation und Integration der querschnittsabhängigen Größen ergibt sich:
\begin{align*}
\delta\;A_\mathrm{i}=
\int_\mathrm{L}{\!\!\left[{
\delta u'EAu'\!+\!\delta v''EI_\mathrm{z}v''\!+\!\delta w''EI_\mathrm{y}w''
}\right.}
\end{align*}
(Lineare Anteile aus Normalkraft und Biegung)
\begin{align*}
+\delta\varphi'GI_\mathrm{x}\varphi'
\end{align*}
(Linearer Anteil aus St. Venant'scher Torsion)
\begin{align*}
{\left.{
\!+\!\delta u'N_\mathrm{x}u'\!+\!\delta v'N_\mathrm{x}v'\!+\!\delta w'N_\mathrm{x}w'
\!+\!\delta\varphi'M_\mathrm{rr}\varphi'
\!+\!\delta v''M_\mathrm{y}\varphi\!+\!\delta w''M_\mathrm{z}\varphi
\!+\!\delta\varphi M_\mathrm{y}v''
\!+\!\delta\varphi M_\mathrm{z}w''
}\right]}\;dx
\end{align*}
(Geometrisch nichtlineare Anteile)
Das Querschnittsintegral Mrr (Kindmann) hat die Bedeutung
\begin{align*}
M_\mathrm{rr}=M_\mathrm{rr}(N_\mathrm{x}, M_\mathrm{y}, M_\mathrm{z}) =
\int_\mathrm{A}{\!\!\sigma_\mathrm{x}
\left({ y^2+z^2}\right)}\;dA
\end{align*}
und kann formal als Schnittgröße angesehen werden.
Da die Berücksichtigung vom Mrr in der Elementsteifigkeitsmatrix die Bereitstellung von zusätzlichen Querschnittsgrößen erfordert, die im allgemeinen Fall nur durch aufwendige Integration gewonnen werden kann, wird dessen Einfluss zur Zeit vernachlässigt. Die Wirkungsweise der übrigen Schnittgrößen entspricht den in der Baustatik üblichen Konventionen.
Der erste Term des geometrisch nichtlinearen Anteils wird nur bei der Berechnung nach Theorie 3. Ordnung berücksichtigt.
Die Stabkräfte (Nx, Qy, Qz) nach Theorie 2. Ordnung beziehen sich, wenn nichts abweichendes definiert wurde, auf die unverformte Stabsehne. Schnittgrößen nach Theorie 3. Ordnung sowie nach 2. Ordnung mit der nichtlinearen Systemanalyse sind immer auf die verformte Stabsehne bezogen.
Um die Integration durchführen zu können, werden die vier unabhängigen Verformungsfunktionen durch Interpolationspolynome der Knotenverformungen ersetzt. Für u(x) und φ(x) wird ein linearer Interpolationsansatz, für v(x) und w(x) ein kubischer Ansatz gewählt.
Nichtlineare Iteration
Die geometrisch nichtlinearen Terme der Arbeitsgleichung werden durch Einführung der Schnittgrößen Nx, My, Mz, Mrr linearisiert. Zur Erfassung der Nichtlinearitäten wird demzufolge im Programm eine Iteration über die Schnittgrößen durch wiederholten Aufbau der Elementsteifigkeitsmatrizen durchgeführt. Konvergenzkriterium ist dabei die Länge des Fehlervektors, das Residuum. Die genannten Ansatzfunktionen gewährleisten bei einer Berechnung nach Theorie 1. Ordnung theoretisch exakte Resultate.
Bei einer Systemanalyse nach Theorie 2. bzw. 3. Ordnung geben die Interpolationspolynome jedoch nur einen genäherten Verlauf der Verformungen wieder. Für hochbeanspruchte Bauteile ist deshalb eine verfeinerte Diskretisierung, d.h. mindestens ein Zwischenknoten je Druckstab, zu empfehlen.